Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (3 x)}$

Etapa 1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$2 \frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 2.1.3.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

Etapa 2.3.7

Mova $3$ para a esquerda de $\sec^{2} (3 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{2} (3 x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x)}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Etapa 3.4

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

Etapa 3.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 3.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.2

Combine.

$\frac{2 \cdot 1}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{2}{3 \sec^{2} (0)}$

Etapa 5.4.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1^{2}}$

Etapa 5.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Etapa 5.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$