Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.8

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.9

Combine os termos opostos em $\cos (a + 0) - \cos (a + 0)$ .

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Etapa 1.1.2.9.1

Some $a$ e $0$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.9.2

Some $a$ e $0$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.9.3

Subtraia $\cos (a)$ de $\cos (a)$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (a + x) - \cos (a - x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = a + x$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $a + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $a + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.3

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.5

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (a - x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = a - x$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $a - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $a - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.4

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.8

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (1 \sin (a - x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.10

Multiplique $\sin (a - x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{1}$

Etapa 1.4

Divida $- \sin (a + x) - \sin (a - x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (a + x) - \sin (a - x)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Etapa 2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \sin (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Etapa 2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - x)$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \sin (a + 0) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine os termos opostos em $- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$ .

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Etapa 4.1.1

Some $a$ e $0$ .

$- \sin (a) - \sin (a + 0)$

Etapa 4.1.2

Some $a$ e $0$ .

$- \sin (a) - \sin (a)$

Etapa 4.2

Subtraia $\sin (a)$ de $- \sin (a)$ .

$- 2 \sin (a)$