Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} {\tan (9 x)}^{x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${\tan (9 x)}^{x}$ como $e^{\ln ({\tan (9 x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (9 x)}^{x})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({\tan (9 x)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (9 x))}$

Etapa 2

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (9 x))}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $e^{x \ln (\tan (9 x))}$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{0 \ln (\tan (9 \cdot 0))}$

Etapa 3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

Etapa 3.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Etapa 3.4

Como $e^{0 \ln (0)}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 4

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (9 x))}$

Etapa 5

Avalie o valor crítico direito.

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Etapa 5.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (9 x))}$

Etapa 5.2

Reescreva $x \ln (\tan (9 x))$ como $\frac{\ln (\tan (9 x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (9 x))}{\frac{1}{x}}}$

Etapa 5.3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (9 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.3.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (\tan (9 x))$ diminui sem limites.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.3.1.3

Como o numerador é uma constante e o denominador se aproxima de $0$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima do infinito.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Etapa 5.3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Etapa 5.3.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (9 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (9 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 5.3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (9 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tan (9 x)$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (9 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (9 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $\tan (9 x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (9 x)}{\cos (9 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (9 x)}{\cos (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.5

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.6

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.6.1

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.6.2

Multiplique $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 5.3.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $9 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.7.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $9 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} \sec^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.8

Combine $\sec^{2} (9 x)$ e $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.9

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \cdot 9 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.10

Combine $9$ e $\frac{\sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.12

Multiplique $\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \sec^{2} (9 x) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.13

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.13.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.13.1.1

Reescreva $\sec (9 x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 {(\frac{1}{\cos (9 x)})}^{2} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9 \frac{1}{\cos^{2} (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.4

Combine $9$ e $\frac{1}{\cos^{2} (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos^{2} (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.5

Cancele o fator comum de $\cos (9 x)$ .

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Etapa 5.3.3.13.1.5.1

Fatore $\cos (9 x)$ de $\cos^{2} (9 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos (9 x) \cos (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.5.2

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos (9 x) \cos (9 x)} \cos (9 x)}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.5.3

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{9}{\cos (9 x)}}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.13.2

Combine os termos.

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Etapa 5.3.3.13.2.1

Reescreva $\frac{\frac{9}{\cos (9 x)}}{\sin (9 x)}$ como um produto.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x)} \cdot \frac{1}{\sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.13.2.2

Multiplique $\frac{9}{\cos (9 x)}$ por $\frac{1}{\sin (9 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3.14

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Etapa 5.3.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{- x^{- 2}}}$

Etapa 5.3.3.16

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Etapa 5.3.5

Combine $\frac{9}{\cos (9 x) \sin (9 x)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{9 x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Etapa 5.4

Avalie o limite.

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Etapa 5.4.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{9 x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Etapa 5.4.2

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Etapa 5.5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{- 9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Etapa 5.5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.5.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{- 9 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Etapa 5.5.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- 9 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Etapa 5.5.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \sin (9 x)}}$

Etapa 5.5.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 5.5.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x)}}$

Etapa 5.5.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 9 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x)}}$

Etapa 5.5.1.3.3

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x)}}$

Etapa 5.5.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 9 x)}}$

Etapa 5.5.1.3.5

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Etapa 5.5.1.3.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.5.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 \cdot 0) \cdot \sin (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Etapa 5.5.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (9 \cdot 0) \cdot \sin (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.5.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.5.1.3.7.1

Multiplique $9$ por $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.5.1.3.7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{- 9 \frac{0}{1 \cdot \sin (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.5.1.3.7.3

Multiplique $\sin (9 \cdot 0)$ por $1$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\sin (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.5.1.3.7.4

Multiplique $9$ por $0$ .

$e^{- 9 \frac{0}{\sin (0)}}$

Etapa 5.5.1.3.7.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Etapa 5.5.1.3.7.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Etapa 5.5.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Etapa 5.5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{- 9 (\frac{0}{0})}$

Etapa 5.5.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (9 x) \sin (9 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (9 x) \sin (9 x)]}$

Etapa 5.5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (9 x) \sin (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (9 x) \sin (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (9 x)$ e $g (x) = \sin (9 x)$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 5.5.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.4.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (9 x) \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.5

Eleve $\cos (9 x)$ à potência de $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (9 x) \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.6

Eleve $\cos (9 x)$ à potência de $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (9 x) \cos^{1} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (9 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.8

Some $1$ e $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.9

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \cdot 9 \frac{d}{d x} [x] + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \cdot 9 \cdot 1 + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.11

Multiplique $9$ por $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (9 x) \cdot 9 + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.12

Mova $9$ para a esquerda de $\cos^{2} (9 x)$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cdot \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]}}$

Etapa 5.5.3.13

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 5.5.3.13.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Etapa 5.5.3.13.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Etapa 5.5.3.13.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $9 x$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) + \sin (9 x) \cdot - 1 \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Etapa 5.5.3.14

Eleve $\sin (9 x)$ à potência de $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{1} (9 x) \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Etapa 5.5.3.15

Eleve $\sin (9 x)$ à potência de $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{1} (9 x) \sin^{1} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Etapa 5.5.3.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - {\sin (9 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Etapa 5.5.3.17

Some $1$ e $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}}$

Etapa 5.5.3.18

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - \sin^{2} (9 x) \cdot 9 \frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 5.5.3.19

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 5.5.3.20

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x) \cdot 1}}$

Etapa 5.5.3.21

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$e^{- 9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Etapa 5.6

Avalie o limite.

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Etapa 5.6.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Etapa 5.6.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} 9 \cos^{2} (9 x) - 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Etapa 5.6.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} 9 \cos^{2} (9 x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Etapa 5.6.4

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (9 x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Etapa 5.6.5

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (9 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (9 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Etapa 5.6.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 9 x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Etapa 5.6.7

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} 9 \sin^{2} (9 x)}}$

Etapa 5.6.8

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (9 x)}}$

Etapa 5.6.9

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (9 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (9 x))}^{2}}}$

Etapa 5.6.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 9 x)}}$

Etapa 5.6.11

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 \sin^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Etapa 5.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x) - 9 \sin^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Etapa 5.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Etapa 5.7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- 9 \cdot 2 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.8.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$e^{- 18 \frac{0}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.8.2

Cancele o fator comum de $0$ e $9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)$ .

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Etapa 5.8.2.1

Fatore $9$ de $0$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 \cos^{2} (9 \cdot 0) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.8.2.2.1

Fatore $9$ de $9 \cos^{2} (9 \cdot 0)$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0)) - 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.8.2.2.2

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (9 \cdot 0)$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0)) + 9 \cdot - 1 \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.8.2.2.3

Fatore $9$ de $9 (\cos^{2} (9 \cdot 0)) + 9 (- \sin^{2} (9 \cdot 0))$ .

$e^{- 18 \frac{9 (0)}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0) - \sin^{2} (9 \cdot 0))}}$

Etapa 5.8.2.2.4

Cancele o fator comum.

$e^{- 18 \frac{9 \cdot 0}{9 (\cos^{2} (9 \cdot 0) - \sin^{2} (9 \cdot 0))}}$

Etapa 5.8.2.2.5

Reescreva a expressão.

$e^{- 18 \frac{0}{\cos^{2} (9 \cdot 0) - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.8.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.8.3.1

Multiplique $9$ por $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.8.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.8.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$e^{- 18 \frac{0}{1 - \sin^{2} (9 \cdot 0)}}$

Etapa 5.8.3.4

Multiplique $9$ por $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

Etapa 5.8.3.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

Etapa 5.8.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 - 0}}$

Etapa 5.8.3.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{- 18 \frac{0}{1 + 0}}$

Etapa 5.8.3.8

Some $1$ e $0$ .

$e^{- 18 (\frac{0}{1})}$

Etapa 5.8.4

Divida $0$ por $1$ .

$e^{- 18 \cdot 0}$

Etapa 5.8.5

Multiplique $- 18$ por $0$ .

$e^{0}$

Etapa 5.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$

Etapa 6

Se um dos valores críticos unilaterais não existir, o limite não existirá.

$Não existe$