Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.2

Substitua $t$ por $8 x$ e deixe que $t$ se aproxime de $0$ , pois $lim_{x \to 0} 8 x = 0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \arctan (t)}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\arctan (0)}$

Etapa 1.1.3.3.2

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

Etapa 1.3.3.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Etapa 1.3.4

Fatore $8$ de $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Etapa 1.3.5

Aplique a regra do produto a $8 (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 8^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Etapa 1.3.6

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Etapa 1.3.7

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 1.3.8

Combine $8$ e $\frac{1}{1 + 64 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \cdot 1}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $\frac{8}{1 + 64 x^{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}}}$

Etapa 1.3.11

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{64 x^{2} + 1}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} 1 \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{64 x^{2} + 1}{8}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{8}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} 64 x^{2} + 1$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} (lim_{x \to 0} 64 x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Etapa 2.3

Mova o termo $64$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{8} (64 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0^{2} + 1)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0 + 1)$

Etapa 4.1.2

Multiplique $64$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (0 + 1)$

Etapa 4.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot 1$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{8}$

Forma decimal:

$0.125$