Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x^{2})}{3 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x^{2})}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x^{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \cdot 4 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x^{2}) \cdot 8 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Reordene os fatores de $\cos (4 x^{2}) (8 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (4 x^{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (4 x^{2})}{1}$

Etapa 2.4

Divida $8 x \cos (4 x^{2})$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 8 x \cos (4 x^{2})$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cos (4 x^{2})$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x^{2})$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x^{2})$

Etapa 3.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x^{2})$

Etapa 3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 0 \cdot \cos (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 0 \cdot \cos (4 \cdot 0^{2})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} \cdot 0 \cdot \cos (4 \cdot 0^{2})$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $0$ .

$0 \cdot \cos (4 \cdot 0^{2})$

Etapa 5.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 \cdot \cos (4 \cdot 0)$

Etapa 5.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Etapa 5.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 5.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$