Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 0} \frac{9}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{9}{t}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $- \frac{9}{t}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{9}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{9}{t} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$

Etapa 1.2

Multiplique $\frac{9}{t}$ por $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{9}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{9 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to 0} \frac{9 - 9 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} 9 - 9 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} 9 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{9 - lim_{t \to 0} 9 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{9 - 9 lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2.1.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{9 - 9 \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2.1.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{9 - 9 \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2.1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{9 - 9 \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{9 - 9 \sqrt{1 + 0}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{9 - 9 \sqrt{1}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{9 - 9 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t}}$

Etapa 2.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t}}$

Etapa 2.1.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}$

Etapa 2.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 2.1.3.5.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}$

Etapa 2.1.3.5.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + 0}}$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1}}$

Etapa 2.1.3.6.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.6.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{9 - 9 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [9 - 9 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [9 - 9 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - 9 \sqrt{1 + t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- 9 \sqrt{1 + t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- 9 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.3

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- 9 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d t} [- 9 \sqrt{1 + t}]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + t}$ como ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- 9 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.2

Como $- 9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 9 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $- 9 \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 + t$ .

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Etapa 2.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.4.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.12

Some $0$ e $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 (\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.14

Multiplique $\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 \frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.15

Mova ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 9 \frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.16

Combine $- 9$ e $\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{- 9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.4.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to 0} \frac{0 - \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.5

Subtraia $\frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

Etapa 2.3.6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + t}$ como ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 + t$ .

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Etapa 2.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.15

Mova ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.16

Combine $\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.17

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.18

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.19

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.20

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.21

Multiplique $\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Etapa 2.3.23

Multiplique ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.3.24

Para escrever ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.25

Combine ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.27

Multiplique ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.27.1

Mova ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.27.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.27.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.27.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.27.5

Divida $2$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.28

Simplifique ${(1 + t)}^{1} \cdot 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + (1 + t) \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.29

Mova $2$ para a esquerda de $1 + t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 \cdot (1 + t)}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.30

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 \cdot 1 + 2 t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.30.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.30.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 + 2 t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.30.2.2

Some $t$ e $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 t + 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{t \to 0} - \frac{9}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{3 t + 2}$

Etapa 2.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{9}{2 \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{3 t + 2}$

Etapa 2.5.2

Reescreva ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{9}{2 \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{2 \sqrt{1 + t}}{3 t + 2}$

Etapa 2.6

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{1 + t}}{3 t + 2}$ por $\frac{9}{2 \sqrt{1 + t}}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{2 \sqrt{1 + t} \cdot 9}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $9$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{18 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

Etapa 2.7

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum de $18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Fatore $2$ de $18 \sqrt{1 + t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (9 \sqrt{1 + t})}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

Etapa 2.7.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.2.1

Fatore $2$ de $(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (9 \sqrt{1 + t})}{2 ((3 t + 2) (\sqrt{1 + t}))}$

Etapa 2.7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (9 \sqrt{1 + t})}{2 ((3 t + 2) (\sqrt{1 + t}))}$

Etapa 2.7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to 0} - \frac{9 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) (\sqrt{1 + t})}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{1 + t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to 0} - \frac{9 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) \sqrt{1 + t}}$

Etapa 2.7.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to 0} - \frac{9}{3 t + 2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to 0} \frac{9}{3 t + 2}$

Etapa 3.2

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- 9 lim_{t \to 0} \frac{1}{3 t + 2}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$- 9 \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 3 t + 2}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{t \to 0} 3 t + 2}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{t \to 0} 3 t + lim_{t \to 0} 2}$

Etapa 3.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- 9 \frac{1}{3 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 2}$

Etapa 3.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$- 9 \frac{1}{3 lim_{t \to 0} t + 2}$

Etapa 4

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$- 9 \frac{1}{3 \cdot 0 + 2}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$- 9 \frac{1}{0 + 2}$

Etapa 5.1.2

Some $0$ e $2$ .

$- 9 (\frac{1}{2})$

Etapa 5.2

Combine $- 9$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 9}{2}$

Etapa 5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{9}{2}$

Forma decimal:

$- 4.5$