Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + 3 x} - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.1.3.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.1.3.1.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.1.3.1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + 3 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x} - 1]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{1 + 3 x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 3 x}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + 3 x}$ como ${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + 3 x$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.12

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 3) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.13

Some $0$ e $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.15

Combine $\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.16

Mova $3$ para a esquerda de ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.4.17

Mova ${(1 + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.6

Some $\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} 1 \frac{2 {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{3}$

Etapa 1.5

Reescreva ${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + 3 x}$ .

$lim_{x \to 0} 1 \frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + 3 x}}{3}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{2}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 3 x}$

Etapa 2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2}{3} \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 3 x}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + lim_{x \to 0} 3 x}$

Etapa 2.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 3 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 3 \cdot 0}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1 + 0}$

Etapa 4.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{1}$

Etapa 4.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$