Cálculo Exemplos

lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{3 x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{3 x}$

Etapa 1

Mova o termo

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

x

$x$ .

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo

5

$5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

0

$0$ por

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique

5

$5$ por

0

$0$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.2

O valor exato de

\sin (0)

$\sin (0)$ é

0

$0$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

0

$0$ por

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por

0

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

f (x) = \sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ e

g (x) = 5 x

$g (x) = 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

u

$u$ como

5 x

$5 x$ .

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de

\sin (u)

$\sin (u)$ em relação a

u

$u$ é

\cos (u)

$\cos (u)$ .

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

5 x

$5 x$ .

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Como

5

$5$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

5 x

$5 x$ em relação a

x

$x$ é

5 \frac{d}{d x} [x]

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Multiplique

5

$5$ por

1

$1$ .

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Mova

5

$5$ para a esquerda de

\cos (5 x)

$\cos (5 x)$ .

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{1}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{1}$

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{1}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{1}$

Etapa 2.4

Divida

5 \cos (5 x)

$5 \cos (5 x)$ por

1

$1$ .

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)$

\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo

5

$5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot 5 lim_{x \to 0} \cos (5 x)

$\frac{1}{3} \cdot 5 lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)

$\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Etapa 3.3

Mova o termo

5

$5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)

$\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)

$\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 4

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

0

$0$ por

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (5 \cdot 0)

$\frac{1}{3} \cdot 5 \cos (5 \cdot 0)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ e

5

$5$ .

\frac{5}{3} \cos (5 \cdot 0)

$\frac{5}{3} \cos (5 \cdot 0)$

Etapa 5.2

Multiplique

5

$5$ por

0

$0$ .

\frac{5}{3} \cos (0)

$\frac{5}{3} \cos (0)$

Etapa 5.3

O valor exato de

\cos (0)

$\cos (0)$ é

1

$1$ .

\frac{5}{3} \cdot 1

$\frac{5}{3} \cdot 1$

Etapa 5.4

Multiplique

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ por

1

$1$ .

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

Forma decimal:

1.\overline{6}

$1.\overline{6}$