Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{3} - 15 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{3} - 15 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$15 x^{2} - 15 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 15$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $15 x^{2} - 15$ .

$15 x^{2} - 15$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $15 x^{2} - 15 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$15 x^{2} - 15 = 0$

Etapa 2.2

Some $15$ aos dois lados da equação.

$15 x^{2} = 15$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $15 x^{2} = 15$ por $15$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $15 x^{2} = 15$ por $15$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{15}{15}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $15$ por $15$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $5 x^{3} - 15 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$5 {(1)}^{3} - 15 \cdot 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 \cdot 1 - 15 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 - 15 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$5 - 15$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $15$ de $5$ .

$- 10$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$5 {(- 1)}^{3} - 15 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$5 \cdot - 1 - 15 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 - 15 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 15$ por $- 1$ .

$- 5 + 15$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 5$ e $15$ .

$10$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, - 10), (- 1, 10)$

Etapa 5