Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique.

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Etapa 1.3.4.1

Reordene os fatores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.4.2

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.4.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Etapa 1.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 1.3.7.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 - - \sin (x)}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + 1 \sin (x)}$

Etapa 1.3.7.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{0 + \sin (x)}$

Etapa 1.3.8

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 2.1.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 3.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\cos (0)}$

Etapa 5.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Etapa 5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 1$

Etapa 5.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$