Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 2} \frac{t^{2} - 4}{t^{3} - 8}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 2} t^{2} - 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{t \to 2} t^{2} - lim_{t \to 2} 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $t^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{t \to 2} t)}^{2} - lim_{t \to 2} 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{t \to 2} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $2$ por $t$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 2} t^{3} - lim_{t \to 2} 8}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $3$ de $t^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} t)}^{3} - lim_{t \to 2} 8}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} t)}^{3} - 1 \cdot 8}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $2$ por $t$ .

$\frac{0}{2^{3} - 1 \cdot 8}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 2} \frac{t^{2} - 4}{t^{3} - 8} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t + \frac{d}{d t} [- 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t + 0}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Etapa 1.3.5

Some $2 t$ e $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{3} - 8$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 8]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 8]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 8$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{3 t^{2} + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $3 t^{2}$ e $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{3 t^{2}}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $t$ e $t^{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $t$ de $2 t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{t \cdot 2}{3 t^{2}}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $t$ de $3 t^{2}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{t \cdot 2}{t (3 t)}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to 2} \frac{t \cdot 2}{t (3 t)}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to 2} \frac{2}{3 t}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{2}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{2}{3} lim_{t \to 2} \frac{1}{t}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 2} 1}{lim_{t \to 2} t}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 2} t}$

Etapa 3

Avalie o limite de $t$ substituindo $2$ por $t$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$