Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 1.3.5.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - \sin (x)}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + 1 \sin (x)}$

Etapa 1.3.5.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \sin (x)}$

Etapa 1.3.6

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (x)}$

Etapa 2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 3.1.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Converta de $\frac{1}{\cos (0)}$ em $\sec (0)$ .

$2 \sec (0)$

Etapa 6.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$