Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$\frac{1 - 2 \cos (\frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{π - 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$\frac{0}{π - 3 \frac{π}{3}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{0}{π + 3 (- 1) \frac{π}{3}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{π + 3 \cdot - 1 \frac{π}{3}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{π - π}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $2 \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $π - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 1.3.7

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \cdot 1}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3}$

Etapa 1.3.9

Subtraia $3$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{- 3}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{2}{- 3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{- 3} lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)$

Etapa 2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{2}{- 3} \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$\frac{2}{- 3} \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3} \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 4.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{3} \sqrt{3}$

Etapa 4.4

Combine $\frac{- 1}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$- 0.57735026 \dots$