Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o expoente $2$ de ${(1 - \cos (h))}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{{(1 - \cos (lim_{h \to 0} h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{{(1 - \cos (0))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{2}$ e $g (h) = 1 - \cos (h)$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (h)$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $1$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [- \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- \cos (h)$ em relação a $h$ é $- \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (- \frac{d}{d h} [\cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [\cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.8

A derivada de $\cos (h)$ em relação a $h$ é $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) (- \sin (h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.9

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10

Simplifique.

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Etapa 1.3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (h))) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10.3

Combine os termos.

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Etapa 1.3.10.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) - 2 \cos (h) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10.4

Reordene os termos.

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{1}$

Etapa 1.4

Divida $- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Etapa 2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Etapa 2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 lim_{h \to 0} \sin (h)$

Etapa 2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Etapa 4.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 + 2 \sin (0)$

Etapa 4.1.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 + 2 \cdot 0$

Etapa 4.1.6

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2

Some $0$ e $0$ .

$0$