Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 6 + h)}^{2} - 36}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 6 + h)}^{2} - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 6 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de ${(- 6 + h)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{h \to 0} - 6 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(- lim_{h \to 0} 6 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 6 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $36$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 6 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 6 + 0)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{{(- 6 + 0)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Some $- 6$ e $0$ .

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$\frac{36 - 1 \cdot 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$\frac{36 - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $36$ de $36$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 6 + h)}^{2} - 36}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 6 + h)}^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 6 + h)}^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(- 6 + h)}^{2}$ como $(- 6 + h) (- 6 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(- 6 + h) (- 6 + h) - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(- 6 + h) (- 6 + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 6 (- 6 + h) + h (- 6 + h) - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 6 \cdot - 6 - 6 h + h (- 6 + h) - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 6 \cdot - 6 - 6 h + h \cdot - 6 + h \cdot h - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 6 h + h \cdot - 6 + h \cdot h - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 6 h - 6 \cdot h + h \cdot h - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 6 h - 6 h + h^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2

Subtraia $6 h$ de $- 6 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36 - 12 h + h^{2} - 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $36 - 12 h + h^{2} - 36$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [36] + \frac{d}{d h} [- 12 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [36] + \frac{d}{d h} [- 12 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Como $36$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $36$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 12 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d h} [- 12 h]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Como $- 12$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 12 h$ em relação a $h$ é $- 12 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 36]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 36$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 36$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 12 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.10.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.10.1.1

Subtraia $12$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 12 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10.1.2

Some $- 12 + 2 h$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 12 + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10.2

Reordene os termos.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 12}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 12}{1}$

Etapa 1.4

Divida $2 h - 12$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - 12$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 12$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 12$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 12$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 12$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 - 1 \cdot 12$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$0 - 12$

Etapa 4.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$- 12$