Cálculo Exemplos

$\frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}} d x$

Etapa 4

Mova $x^{6}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

Etapa 5

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

Etapa 5.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6} d x$

Etapa 6

Expanda $(5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (5 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Etapa 6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Etapa 6.4

Subtraia $6$ de $3$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Etapa 6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6 - 6} d x$

Etapa 6.6

Subtraia $6$ de $6$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{0} d x$

Etapa 6.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 \cdot 1 d x$

Etapa 6.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 d x$

Etapa 6.9

Reordene $5 x^{- 6}$ e $- 4 x^{- 3}$ .

$\int - 4 x^{- 3} + 5 x^{- 6} + 2 d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Etapa 8

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Etapa 10.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Etapa 11

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 6}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 2 d x$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $x^{- 5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 2 d x$

Etapa 13.2

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 2 d x$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 2 x + C$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$