Cálculo Exemplos

$x (t) = 5 \cos (t)$ , $y (t) = 5 \sin (t)$

Etapa 1

Estabeleça a equação paramétrica de $x (t)$ para resolver a equação para $t$ .

$x = 5 \cos (t)$

Etapa 2

Reescreva a equação como $5 \cos (t) = x$ .

$5 \cos (t) = x$

Etapa 3

Divida cada termo em $5 \cos (t) = x$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $5 \cos (t) = x$ por $5$ .

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $\cos (t)$ por $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

Etapa 4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do cosseno.

$t = \arccos (\frac{x}{5})$

Etapa 5

Substitua $t$ na equação por $y$ para obter a equação em termos de $x$ .

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Etapa 6

Remova os parênteses.

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Etapa 7

Simplifique $5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ .

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Etapa 7.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 7.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ , $(\frac{x}{5}, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (\frac{x}{5})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ é $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Etapa 7.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Etapa 7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Etapa 7.3

Simplifique os termos.

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Etapa 7.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Etapa 7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

Etapa 7.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

Etapa 7.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

Etapa 7.3.5

Multiplique $\frac{5 + x}{5}$ por $\frac{5 - x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

Etapa 7.3.6

Multiplique $5$ por $5$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

Etapa 7.4

Reescreva $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ .

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Etapa 7.4.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(5 + x) (5 - x)$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

Etapa 7.4.2

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Etapa 7.4.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

Etapa 7.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})$

Etapa 7.6

Combine $\frac{1}{5}$ e $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Etapa 7.7

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 7.7.1

Cancele o fator comum.

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Etapa 7.7.2

Reescreva a expressão.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$