Cálculo Exemplos

$\cos (2 x)$

Etapa 1

Escreva $\cos (2 x)$ como uma função.

$f (x) = \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) \cdot 1$

Etapa 3.3.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 \sin (2 x) = 0$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 2 \sin (2 x) = 0$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (2 x) = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Divida $0$ por $- 2$ .

$\sin (2 x) = 0$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (0)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$2 x = 0$

Etapa 8

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 9

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - 0$

Etapa 10

Resolva $x$ .

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 x = π + 0$

Etapa 10.1.2

Some $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Etapa 10.2

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 11

A solução para a equação $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 \cos (2 (0))$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- 4 \cos (0)$

Etapa 13.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 13.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 14

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \cos (2 (0))$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Etapa 15.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.1.1

Cancele o fator comum.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Etapa 17.1.2

Reescreva a expressão.

$- 4 \cos (π)$

Etapa 17.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 4 (- \cos (0))$

Etapa 17.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 17.4

Multiplique $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 17.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Etapa 17.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4$

Etapa 18

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 19.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (π)$

Etapa 19.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (0)$

Etapa 19.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Etapa 19.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1$

Etapa 19.2.5

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = \cos (2 x)$ .

$(0, 1)$ é um máximo local

$(\frac{π}{2}, - 1)$ é um mínimo local

Etapa 21