Cálculo Exemplos

Encontre o Máximo e Mínimo Local x^4-288x^2+20736
Etapa 1
Escreva como uma função.
Etapa 2
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.3
Multiplique por .
Etapa 2.3
Diferencie usando a regra da constante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.3.2
Some e .
Etapa 3
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 3.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 3.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 3.2.3
Multiplique por .
Etapa 3.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 3.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 3.3.3
Multiplique por .
Etapa 4
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 5
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 5.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 5.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 5.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 5.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 5.1.3
Diferencie usando a regra da constante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 5.1.3.2
Some e .
Etapa 5.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 6
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 6.2
Fatore o lado esquerdo da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1.1
Fatore de .
Etapa 6.2.1.2
Fatore de .
Etapa 6.2.1.3
Fatore de .
Etapa 6.2.2
Reescreva como .
Etapa 6.2.3
Fatore.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.3.1
Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, em que e .
Etapa 6.2.3.2
Remova os parênteses desnecessários.
Etapa 6.3
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 6.4
Defina como igual a .
Etapa 6.5
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.1
Defina como igual a .
Etapa 6.5.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 6.6
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.6.1
Defina como igual a .
Etapa 6.6.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 6.7
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 7
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 8
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 10
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 10.1.2
Multiplique por .
Etapa 10.2
Subtraia de .
Etapa 11
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 12
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 12.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.2.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 12.2.1.2
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 12.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 12.2.2
Simplifique somando os números.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.2.2.1
Some e .
Etapa 12.2.2.2
Some e .
Etapa 12.2.3
A resposta final é .
Etapa 13
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 14
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 14.1.2
Multiplique por .
Etapa 14.2
Subtraia de .
Etapa 15
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 16
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 16.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 16.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 16.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 16.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 16.2.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 16.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 16.2.2
Simplifique somando e subtraindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 16.2.2.1
Subtraia de .
Etapa 16.2.2.2
Some e .
Etapa 16.2.3
A resposta final é .
Etapa 17
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 18
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.1.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.1.1.1
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.1.1.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 18.1.1.1.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 18.1.1.2
Some e .
Etapa 18.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 18.2
Subtraia de .
Etapa 19
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 20
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 20.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 20.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 20.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 20.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 20.2.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 20.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 20.2.2
Simplifique somando e subtraindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 20.2.2.1
Subtraia de .
Etapa 20.2.2.2
Some e .
Etapa 20.2.3
A resposta final é .
Etapa 21
Esses são os extremos locais para .
é um máximo local
é um mínimo local
é um mínimo local
Etapa 22