Cálculo Exemplos

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$

Etapa 1

Escreva $2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ como uma função.

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + 6 x - 72$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $12 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72 \cdot 1$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} + 6 x - 72$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 x - 72$ .

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 72 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $6$ de $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 72 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $6$ de $- 72$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 12 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $6$ de $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 12 = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 12$ .

$6 (x^{2} + x - 12) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore.

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 6.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 6.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 3) (x + 4)) = 0$

Etapa 6.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 3) (x + 4) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 6.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 3) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 4$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3, - 4$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (3) + 6$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Multiplique $12$ por $3$ .

$36 + 6$

Etapa 10.2

Some $36$ e $6$ .

$42$

Etapa 11

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = 2 {(3)}^{3} + 3 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 2 \cdot 27 + 3 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $2$ por $27$ .

$f (3) = 54 + 3 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.2.1.3.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f (3) = 54 + 3 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (3) = 54 + 3^{1 + 2} - 72 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$f (3) = 54 + 3^{3} - 72 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 54 + 27 - 72 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $3$ .

$f (3) = 54 + 27 - 216$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 12.2.2.1

Some $54$ e $27$ .

$f (3) = 81 - 216$

Etapa 12.2.2.2

Subtraia $216$ de $81$ .

$f (3) = - 135$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 135$ .

$y = - 135$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (- 4) + 6$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Multiplique $12$ por $- 4$ .

$- 48 + 6$

Etapa 14.2

Some $- 48$ e $6$ .

$- 42$

Etapa 15

$x = - 4$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 4$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{3} + 3 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f (- 4) = 2 \cdot - 64 + 3 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 64$ .

$f (- 4) = - 128 + 3 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = - 128 + 3 \cdot 16 - 72 \cdot - 4$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $3$ por $16$ .

$f (- 4) = - 128 + 48 - 72 \cdot - 4$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $- 4$ .

$f (- 4) = - 128 + 48 + 288$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 16.2.2.1

Some $- 128$ e $48$ .

$f (- 4) = - 80 + 288$

Etapa 16.2.2.2

Some $- 80$ e $288$ .

$f (- 4) = 208$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $208$ .

$y = 208$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ .

$(3, - 135)$ é um mínimo local

$(- 4, 208)$ é um máximo local

Etapa 18