Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Etapa 1.2.4.3

Reordene os fatores de $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique ${(x^{2} - 1)}^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

Etapa 2.11

Simplifique.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $6$ por $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 2.11.3

Fatore $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ de $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

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Etapa 2.11.3.1

Fatore $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ de $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 2.11.3.2

Fatore $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ de $8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.3.3

Fatore $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ de $8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.4

Some $6 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.5

Reescreva ${(x^{2} - 1)}^{2}$ como $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.6

Expanda $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.11.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.7.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.7.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.7.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.7.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.7.1.3

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.7.1.4

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.7.2

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.9

Simplifique.

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Etapa 2.11.9.1

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.9.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

Etapa 2.11.10

Expanda $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.11.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.2.3

Some $2$ e $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.3

Multiplique $8$ por $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.6

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.11.6.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.6.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.7

Multiplique $- 16$ por $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.8

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.9

Multiplique $7$ por $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.11.11.10

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Etapa 2.11.12

Subtraia $112 x^{4}$ de $- 8 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Etapa 2.11.13

Some $16 x^{2}$ e $56 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 4.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Etapa 4.1.2.4.3

Reordene os fatores de $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Etapa 5.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Etapa 5.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.4

Defina ${(x^{2} - 1)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina ${(x^{2} - 1)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva ${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

Etapa 5.4.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

Etapa 5.4.2.1.3

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

Etapa 5.4.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Etapa 5.4.2.3

Defina ${(x + 1)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Defina ${(x + 1)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Etapa 5.4.2.3.2

Resolva ${(x + 1)}^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 5.4.2.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5.4.2.4

Defina ${(x - 1)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.4.1

Defina ${(x - 1)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Etapa 5.4.2.4.2

Resolva ${(x - 1)}^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.4.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.4.2.4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.4.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 5.5

A solução final são todos os valores que tornam $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Etapa 9.1.2

Multiplique $56$ por $0$ .

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 120$ por $0$ .

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Etapa 9.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

Etapa 9.1.6

Multiplique $72$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 - 8$

Etapa 9.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 8$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 - 8$

Etapa 9.2.3

Subtraia $8$ de $0$ .

$- 8$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

Etapa 11.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

Etapa 11.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (0) = 1$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Etapa 13.1.2

Multiplique $56$ por $1$ .

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Etapa 13.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 120$ por $1$ .

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Etapa 13.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

Etapa 13.1.6

Multiplique $72$ por $1$ .

$56 - 120 + 72 - 8$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 13.2.1

Subtraia $120$ de $56$ .

$- 64 + 72 - 8$

Etapa 13.2.2

Some $- 64$ e $72$ .

$8 - 8$

Etapa 13.2.3

Subtraia $8$ de $8$ .

$0$

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.2.1

Multiplique $8$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 14.2.2.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

Etapa 14.2.2.3

Subtraia $1$ de $16$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

Etapa 14.2.2.4

Eleve $15$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

Etapa 14.2.2.5

Multiplique $- 32$ por $3375$ .

$f' (- 4) = - 108000$

Etapa 14.2.2.6

A resposta final é $- 108000$ .

$- 108000$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Multiplique $8$ por $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 14.3.2.2

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Etapa 14.3.2.3

Subtraia $1$ de $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

Etapa 14.3.2.4

Eleve $- 0.75$ à potência de $3$ .

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

Etapa 14.3.2.5

Multiplique $- 4$ por $- 0.421875$ .

$f' (- 0.5) = 1.6875$

Etapa 14.3.2.6

A resposta final é $1.6875$ .

$1.6875$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $0.5$ , do intervalo $(0, 1)$ na primeira derivada $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $0.5$ na expressão.

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Multiplique $8$ por $0.5$ .

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 14.4.2.2

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Etapa 14.4.2.3

Subtraia $1$ de $0.25$ .

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

Etapa 14.4.2.4

Eleve $- 0.75$ à potência de $3$ .

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

Etapa 14.4.2.5

Multiplique $4$ por $- 0.421875$ .

$f' (0.5) = - 1.6875$

Etapa 14.4.2.6

A resposta final é $- 1.6875$ .

$- 1.6875$

Etapa 14.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 14.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.2.1

Multiplique $8$ por $4$ .

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 14.5.2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

Etapa 14.5.2.3

Subtraia $1$ de $16$ .

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

Etapa 14.5.2.4

Eleve $15$ à potência de $3$ .

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

Etapa 14.5.2.5

Multiplique $32$ por $3375$ .

$f' (4) = 108000$

Etapa 14.5.2.6

A resposta final é $108000$ .

$108000$

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um mínimo local.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 14.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 14.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um mínimo local.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 14.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$x = - 1$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = 1$ é um mínimo local

$x = - 1$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 15