Cálculo Exemplos

$f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) ((x - 3) (x - 3))]$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3))]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]$

Etapa 1.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 6 x + 9)]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.5.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.5.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$(x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.5.6

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.5.7

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.5.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.5.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.5.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

Etapa 1.5.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.11.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

Etapa 1.5.11.2

Multiplique $x^{2} - 6 x + 9$ por $1$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.4.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.4.6

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.4.7

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.4.8

Subtraia $6 x$ de $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.6.4.9

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

Etapa 1.6.4.10

Subtraia $6 x$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

Etapa 1.6.4.11

Some $12$ e $9$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 16 x + 21$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (21)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (21)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (21)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $21$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $21$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x - 16$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) ((x - 3) (x - 3)))$

Etapa 4.1.2

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3)))$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)))$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Etapa 4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Etapa 4.1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9))$

Etapa 4.1.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 6 x + 9))$

Etapa 4.1.4

$f' (x) = (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Etapa 4.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = (x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Etapa 4.1.5.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Etapa 4.1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Etapa 4.1.5.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Etapa 4.1.5.6

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Etapa 4.1.5.7

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Etapa 4.1.5.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Etapa 4.1.5.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Etapa 4.1.5.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

Etapa 4.1.5.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

Etapa 4.1.5.11.2

Multiplique $x^{2} - 6 x + 9$ por $1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.4.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.4.6

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.4.7

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.4.8

Subtraia $6 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.4.9

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

Etapa 4.1.6.4.10

Subtraia $6 x$ de $- 10 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

Etapa 4.1.6.4.11

Some $12$ e $9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 21$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 16 x + 21$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Etapa 5.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 21 = 63$ e cuja soma é $b = - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $- 16$ de $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva $- 16$ como $- 7$ mais $- 9$

$3 x^{2} + (- 7 - 9) x + 21 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 7 x - 9 x + 21 = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 7 x) - 9 x + 21 = 0$

Etapa 5.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 7) - 3 (3 x - 7) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x - 3) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 5.4

Defina $3 x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $3 x - 7$ como igual a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $3 x - 7 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$3 x = 7$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 5.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Etapa 5.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 7) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{7}{3}, 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{7}{3}, 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{7}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\frac{7}{3}) - 16$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{7}{3} - 16$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{7}{3} - 16$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 7 - 16$

Etapa 9.1.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 - 16$

Etapa 9.2

Subtraia $16$ de $14$ .

$- 2$

Etapa 10

$x = \frac{7}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{7}{3}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{7}{3}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7}{3}$ na expressão.

$f (\frac{7}{3}) = ((\frac{7}{3}) - 2) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Etapa 11.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 2 \cdot 3}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Etapa 11.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 6}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Etapa 11.2.4.2

Subtraia $6$ de $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Etapa 11.2.5

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Etapa 11.2.6

Combine $- 3$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

Etapa 11.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

Etapa 11.2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.8.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 9}{3})}^{2}$

Etapa 11.2.8.2

Subtraia $9$ de $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{- 2}{3})}^{2}$

Etapa 11.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2}$

Etapa 11.2.10

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 11.2.10.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2})$

Etapa 11.2.10.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

Etapa 11.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.11.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

Etapa 11.2.11.2

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Etapa 11.2.12

Combine.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Etapa 11.2.13

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.2.13.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ .

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Etapa 11.2.13.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Etapa 11.2.13.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{1 + 2}}$

Etapa 11.2.13.2

Some $1$ e $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{3}}$

Etapa 11.2.14

Multiplique $2^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{3}}$

Etapa 11.2.15

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{3^{3}}$

Etapa 11.2.16

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{27}$

Etapa 11.2.17

A resposta final é $\frac{4}{27}$ .

$y = \frac{4}{27}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (3) - 16$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$18 - 16$

Etapa 13.2

Subtraia $16$ de $18$ .

$2$

Etapa 14

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = ((3) - 2) {((3) - 3)}^{2}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Subtraia $2$ de $3$ .

$f (3) = 1 {((3) - 3)}^{2}$

Etapa 15.2.2

Multiplique ${((3) - 3)}^{2}$ por $1$ .

$f (3) = {((3) - 3)}^{2}$

Etapa 15.2.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (3) = 0^{2}$

Etapa 15.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (3) = 0$

Etapa 15.2.5

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$ .

$(\frac{7}{3}, \frac{4}{27})$ é um máximo local

$(3, 0)$ é um mínimo local

Etapa 17