Cálculo Exemplos

$f (x) = (x - 6) (x^{2} - 12 x - 72)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 6$ e $g (x) = x^{2} - 12 x - 72$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x - 72] + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 12 x - 72$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$(x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.2.3

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 6) (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 6) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$(x - 6) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.2.6

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.2.7

Some $2 x - 12$ e $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 1.2.10

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + 0)$

Etapa 1.2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \cdot 1$

Etapa 1.2.11.2

Multiplique $x^{2} - 12 x - 72$ por $1$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{1 + 1} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.4.4

Some $1$ e $1$ .

$2 x^{2} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$2 x^{2} - 12 x + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.4.6

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{2} - 12 x - 12 \cdot x - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $- 6$ por $- 12$ .

$2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.4.8

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$2 x^{2} - 24 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 1.3.4.9

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 24 x + 72 - 12 x - 72$

Etapa 1.3.4.10

Subtraia $12 x$ de $- 24 x$ .

$3 x^{2} - 36 x + 72 - 72$

Etapa 1.3.4.11

Subtraia $72$ de $72$ .

$3 x^{2} - 36 x + 0$

Etapa 1.3.4.12

Some $3 x^{2} - 36 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 36 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 36 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 36 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 36$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 36 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$f' (x) = (x - 6) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x - 72) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 12 x - 72$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$f' (x) = (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Etapa 4.1.2.3

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Etapa 4.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Etapa 4.1.2.6

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Etapa 4.1.2.7

Some $2 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Etapa 4.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))$

Etapa 4.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))$

Etapa 4.1.2.10

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + 0)$

Etapa 4.1.2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \cdot 1$

Etapa 4.1.2.11.2

Multiplique $x^{2} - 12 x - 72$ por $1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.4.5

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.4.6

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 \cdot x - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.4.7

Multiplique $- 6$ por $- 12$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.4.8

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 24 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.4.9

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 72 - 12 x - 72$

Etapa 4.1.3.4.10

Subtraia $12 x$ de $- 24 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 72 - 72$

Etapa 4.1.3.4.11

Subtraia $72$ de $72$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 0$

Etapa 4.1.3.4.12

Some $3 x^{2} - 36 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 36 x$ .

$3 x^{2} - 36 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 36 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 36 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} - 36 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 36 x = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $3 x$ de $- 36 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 12) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 12)$ .

$3 x (x - 12) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 12 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x - 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 12$ como igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$x = 12$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x - 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 12$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 12$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (0) - 36$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 - 36$

Etapa 9.2

Subtraia $36$ de $0$ .

$- 36$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = ((0) - 6) ({(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 72)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Subtraia $6$ de $0$ .

$f (0) = - 6 ({(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 72)$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - 6 (0 - 12 \cdot 0 - 72)$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f (0) = - 6 (0 + 0 - 72)$

Etapa 11.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = - 6 (0 - 72)$

Etapa 11.2.3.2

Subtraia $72$ de $0$ .

$f (0) = - 6 \cdot - 72$

Etapa 11.2.3.3

Multiplique $- 6$ por $- 72$ .

$f (0) = 432$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $432$ .

$y = 432$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 12$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (12) - 36$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $6$ por $12$ .

$72 - 36$

Etapa 13.2

Subtraia $36$ de $72$ .

$36$

Etapa 14

$x = 12$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 12$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$f (12) = ((12) - 6) ({(12)}^{2} - 12 \cdot 12 - 72)$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Subtraia $6$ de $12$ .

$f (12) = 6 ({(12)}^{2} - 12 \cdot 12 - 72)$

Etapa 15.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f (12) = 6 (144 - 12 \cdot 12 - 72)$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $- 12$ por $12$ .

$f (12) = 6 (144 - 144 - 72)$

Etapa 15.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Subtraia $144$ de $144$ .

$f (12) = 6 (0 - 72)$

Etapa 15.2.3.2

Subtraia $72$ de $0$ .

$f (12) = 6 \cdot - 72$

Etapa 15.2.3.3

Multiplique $6$ por $- 72$ .

$f (12) = - 432$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $- 432$ .

$y = - 432$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = (x - 6) (x^{2} - 12 x - 72)$ .

$(0, 432)$ é um máximo local

$(12, - 432)$ é um mínimo local

Etapa 17