Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 16$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 16) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

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Etapa 1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.2.2

Some $- 32 x$ e $0$ .

$\frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.6.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Etapa 1.6.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$- \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Etapa 1.6.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.2

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x + 4)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie.

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Etapa 2.6.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 4)}^{2} (x - 4)) \frac{d}{d x} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + 0) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) \cdot 1 + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 4$ .

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Etapa 2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 (x + 4) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie.

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Etapa 2.8.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} (x + 4)) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + 0))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.5

Combine frações.

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Etapa 2.8.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) \cdot 1)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.5.3

Combine $- 32$ e $\frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(32) ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Aplique a regra do produto a ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)) - x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.4.1

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.1.1

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.1.2

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.1.3

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.1.4

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.1.5

Fatore $32 (x + 4) (x - 4)$ de $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4)) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.1

Expanda $(x + 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x (x - 4) + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 4$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2.2

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.3.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.6

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.8.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.9

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.4

Combine os termos opostos em $x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.4.1

Some $- 8 x$ e $8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.4.2

Some $x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.5

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- x^{2} - 16 - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.6

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.9.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.9.5.3

Cancele o fator comum de $x + 4$ e ${(x + 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.3.1

Fatore $x + 4$ de $32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.9.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.3.2.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Etapa 2.9.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Etapa 2.9.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{(32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.9.5.4

Cancele o fator comum de $x - 4$ e ${(x - 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.4.1

Fatore $x - 4$ de $32 (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.9.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.4.2.1

Fatore $x - 4$ de ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Etapa 2.9.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Etapa 2.9.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.9.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.9.7

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.9.8

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.9.9

Reescreva $- (3 x^{2} + 16)$ como $- 1 (3 x^{2} + 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- 1 (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.9.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.9.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}})$

Etapa 2.9.12

Multiplique $\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.5

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6.3.2.2

Some $- 32 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.6.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.6.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Etapa 4.1.6.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$32 x = 0$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $32 x = 0$ por $32$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $32 x = 0$ por $32$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{32}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida $0$ por $32$ .

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Defina ${(x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Defina ${(x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.2.2

Resolva ${(x + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 6.2.2.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 6.2.3

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.3.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 6.2.3.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 4$

Etapa 6.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{32 (3 {(0)}^{2} + 16)}{{((0) + 4)}^{3} {((0) - 4)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{32 (3 \cdot 0 + 16)}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{32 (0 + 16)}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Some $0$ e $16$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Reescreva $0$ como $- 1 (0)$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 (0) + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 4$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 \cdot (0 - 4))}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Etapa 9.2.4

Aplique a regra do produto a $- 1 \cdot (0 - 4)$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Etapa 9.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Etapa 9.2.6

Multiplique ${(0 - 4)}^{3}$ por ${(0 - 4)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.6.1

Mova ${(0 - 4)}^{3}$ .

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot ({(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3})}$

Etapa 9.2.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{3 + 3}}$

Etapa 9.2.6.3

Some $3$ e $3$ .

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{6}}$

Etapa 9.3

Multiplique $32$ por $16$ .

$\frac{512}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{6}}$

Etapa 9.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{512}{- 1 {(- 4)}^{6}}$

Etapa 9.4.2

Eleve $- 4$ à potência de $6$ .

$\frac{512}{- 1 \cdot 4096}$

Etapa 9.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Multiplique $- 1$ por $4096$ .

$\frac{512}{- 4096}$

Etapa 9.5.2

Cancele o fator comum de $512$ e $- 4096$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.1

Fatore $512$ de $512$ .

$\frac{512 (1)}{- 4096}$

Etapa 9.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.2.1

Fatore $512$ de $- 4096$ .

$\frac{512 \cdot 1}{512 \cdot - 8}$

Etapa 9.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{512 \cdot 1}{512 \cdot - 8}$

Etapa 9.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 8}$

Etapa 9.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{8}$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 16}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 16}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 16}$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 16}$

Etapa 11.2.3

Divida $0$ por $- 16$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ .

$(0, 0)$ é um máximo local

Etapa 13