Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.3.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.3.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.3.10

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.3.11

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.3.12

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0$

Etapa 2.3.13

Some $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3}$

Etapa 2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3}$

Etapa 2.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 2.6

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Etapa 4.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, x^{2}, 1$

Etapa 5.2.2

Como $x, x^{2}, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x, x^{2}, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $x, x^{2}, 1$ .

Etapa 5.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 5.2.6

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 5.2.7

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 5.2.8

O MMC de $x^{1}, x^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x$

Etapa 5.2.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x - 1 = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 6.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{1}{{(1)}^{2}} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{1} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 9.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 1 + \frac{2}{1}$

Etapa 9.1.5

Divida $2$ por $1$ .

$- 1 + 2$

Etapa 9.2

Some $- 1$ e $2$ .

$1$

Etapa 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1}{1} + \ln (1)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Divida $1$ por $1$ .

$f (1) = 1 + \ln (1)$

Etapa 11.2.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = 1 + 0$

Etapa 11.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f (1) = 1$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$ .

$(1, 1)$ é um mínimo local

Etapa 13