Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x} \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Reordene $e^{x}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Etapa 2.4.2.2

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Etapa 2.4.2.3

Subtraia $e^{x} \sin (x)$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Etapa 2.4.2.4

Some $- e^{x} \cos (x)$ e $\cos (x) e^{x}$ .

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Etapa 2.4.2.4.1

Reordene $\cos (x)$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Etapa 2.4.2.4.2

Some $- e^{x} \cos (x)$ e $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

Etapa 2.4.2.5

Some $- 2 e^{x} \sin (x)$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

Etapa 4

Fatore $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Etapa 4.2

Reescreva $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Etapa 6

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 6.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 6.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 7

Defina $- \sin (x) + \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $- \sin (x) + \cos (x)$ como igual a $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.2

Separe as frações.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 7.2.5.1

Cancele o fator comum.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.5.2

Reescreva a expressão.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.6

Separe as frações.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 7.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 7.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Etapa 7.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Etapa 7.2.10

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - 1$

Etapa 7.2.11

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.2.11.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.11.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.11.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.11.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Etapa 7.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 7.2.13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.13.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.14

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.15

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 7.2.15.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.15.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.15.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.15.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 7.2.15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.15.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 7.2.15.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 7.2.16

A solução para a equação $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1

Fatore $2$ de $- 2 e^{\frac{π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10.2.3

Reescreva a expressão.

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

Etapa 11

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{4}$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 12.2.2

Combine $e^{\frac{π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 14.3.2

Fatore $2$ de $- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 14.3.3

Cancele o fator comum.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 14.3.4

Reescreva a expressão.

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

Etapa 14.4

Multiplique.

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Etapa 14.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Etapa 14.4.2

Multiplique $e^{\frac{5 π}{4}}$ por $1$ .

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Etapa 15

$x = \frac{5 π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Etapa 16.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 16.2.3

Combine $e^{\frac{5 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{x} \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ é um máximo local

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ é um mínimo local

Etapa 18