Cálculo Exemplos

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x^{2} + b x + c$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x^{2}$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b x$ em relação a $x$ é $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $b$ por $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.4

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 a x + b + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $2 a x + b$ e $0$ .

$2 a x + b$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$b + 2 a x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $b + 2 a x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (b) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Etapa 2.1.2

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2 a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 a x$ em relação a $x$ é $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a \cdot 1$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a$

Etapa 2.3

Some $0$ e $2 a$ .

$f'' (x) = 2 a$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$b + 2 a x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x^{2} + b x + c$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x^{2}$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 4.1.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b x$ em relação a $x$ é $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $b$ por $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 4.1.4

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 a x + b + 0$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.1

Some $2 a x + b$ e $0$ .

$2 a x + b$

Etapa 4.1.5.2

Reordene os termos.

$f' (x) = b + 2 a x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $b + 2 a x = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $b$ dos dois lados da equação.

$2 a x = - b$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 a x = - b$ por $2 a$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 a x = - b$ por $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $a$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 a$

Etapa 9

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 10