Cálculo Exemplos

$f (x) = - 4 x {(x + 2)}^{3}$

Etapa 1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x {(x + 2)}^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$- 4 (x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$- 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 4.6

Multiplique ${(x + 2)}^{3}$ por $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$- 12 (x ({(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Etapa 5.3

Fatore $4 {(x + 2)}^{2}$ de $- 12 x {(x + 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{3}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $4 {(x + 2)}^{2}$ de $- 12 x {(x + 2)}^{2}$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Etapa 5.3.2

Fatore $4 {(x + 2)}^{2}$ de $- 4 {(x + 2)}^{3}$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$

Etapa 5.3.3

Fatore $4 {(x + 2)}^{2}$ de $4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.4

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 ((x + 2) (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.5

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.6.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.6.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$4 (x^{2} + 4 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.8

Simplifique.

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Etapa 5.8.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.8.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - (x + 2))$

Etapa 5.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 1 \cdot 2)$

Etapa 5.9.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 2)$

Etapa 5.10

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$

Etapa 5.11

Expanda $(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \cdot - 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.12.2.1

Mova $x$ .

$4 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.12.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.2.3

Some $1$ e $2$ .

$4 \cdot - 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.3

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$- 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.4

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x \cdot x + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.12.6.1

Mova $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.7

Multiplique $16$ por $- 4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.8

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.9

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x + 16 \cdot - 2$

Etapa 5.12.10

Multiplique $16$ por $- 2$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Etapa 5.13

Subtraia $64 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Etapa 5.14

Subtraia $64 x$ de $- 32 x$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 96 x - 32$