Cálculo Exemplos

$h (t) = \sqrt{t} (1 - t^{2})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} (1 - t^{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 - t^{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}] + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$t^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- (2 t)) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- 2 t) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $t$ .

$t \cdot t^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Multiplique $t$ por $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$t^{1} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t^{1 + \frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.5

Some $2$ e $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Mova $- 2$ para a esquerda de $t^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 13

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2

Combine os termos.

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Etapa 14.2.1

Multiplique $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.2

Combine $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ e $t^{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.3

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4

Multiplique $t^{2}$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.2.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2 - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.2.4.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{4 - 1}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.4.5.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 14.2.5

Para escrever $- 2 t^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.6

Combine $- 2 t^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.8

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.9

Subtraia $t^{\frac{3}{2}}$ de $- 4 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$