Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (e^{x} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x} + 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + 0)$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Some $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} e^{x}$

Etapa 4.2.2

Combine $\frac{1}{e^{x} + 1}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$