Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 2 x \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 1.3.5

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.6.1

Cancele o fator comum.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 1.3.6.2

Reescreva a expressão.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 1.3.7

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 2 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Etapa 2.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

Etapa 2.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

Etapa 2.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

Etapa 2.3

Subtraia $\frac{2}{x}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 2 x \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.5

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.3.6.1

Cancele o fator comum.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.6.2

Reescreva a expressão.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.7

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Etapa 4.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.1.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Etapa 4.1.4.2.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 - 2 \ln (x)$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 - 2 \ln (x) = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 2 \ln (x) = - 5$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 2 \ln (x) = - 5$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 2 \ln (x) = - 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

Etapa 5.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.5

Reescreva $\ln (x) = \frac{5}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5}{2}} = x$

Etapa 5.6

Reescreva a equação como $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 6.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = e^{\frac{5}{2}}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 9

$x = e^{\frac{5}{2}}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = e^{\frac{5}{2}}$ é um máximo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $e^{\frac{5}{2}}$ na expressão.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Use as regras logarítmicas para mover $\frac{5}{2}$ para fora do expoente.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

Etapa 10.2.1.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

Etapa 10.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Etapa 10.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Etapa 10.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

Etapa 10.2.1.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

Etapa 10.2.2

Subtraia $5 e^{\frac{5}{2}}$ de $7 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ .

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ é um máximo local

Etapa 12