Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x^{2}}$ como ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8

Combine frações.

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Etapa 1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8.3

Mova ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.14

Combine frações.

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Etapa 1.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.14.2

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.14.3

Combine $\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.18

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.19

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.20.1

Fatore $2$ de $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.20.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.20.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.23

Multiplique ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.24

Para escrever ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26

Multiplique ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.26.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.27

Simplifique ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.28

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.29

Reordene os termos.

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = - 2 x^{2} + 4$ e $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.3

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.4.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.4.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.4.6

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 4$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.10

Combine frações.

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Etapa 2.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.10.3

Mova ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.14

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.15

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.16

Simplifique os termos.

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Etapa 2.16.1

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.16.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.16.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.16.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.17

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.1

Fatore $2$ de $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.17.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.17.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.19

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.20

Multiplique $- 2 x^{2} + 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.2

Multiplique $- 2 x^{2} + 4$ por $\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.3

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (2)) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.3.3

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.4

Para escrever $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.5

Combine $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ e $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.7

Reescreva $\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.21.1.7.1

Fatore $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x$ .

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Etapa 2.21.1.7.1.1

Fatore $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.7.1.2

Fatore $2 x$ de $2 (- x^{2} + 2) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.7.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.7.2

Combine expoentes.

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Etapa 2.21.1.7.2.1

Multiplique ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1.7.2.1.1

Mova ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.7.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.7.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.7.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.7.2.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.7.2.2

Simplifique $- 2 {(- x^{2} + 4)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.21.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.8.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.8.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 8 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.8.4

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 8 + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.1.8.5

Some $- 8$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.2

Combine os termos.

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Etapa 2.21.2.1

Reescreva $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 4}$

Etapa 2.21.2.2

Multiplique $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{- x^{2} + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Etapa 2.21.2.3

Multiplique ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 4$ somando os expoentes.

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Etapa 2.21.2.3.1

Multiplique ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.2.3.1.1

Eleve $- x^{2} + 4$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Etapa 2.21.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.21.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.21.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.21.2.3.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x^{2}}$ como ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.8

Combine frações.

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Etapa 4.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.8.3

Mova ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.14.2

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.14.3

Combine $\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.18

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.19

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.20

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.20.1

Fatore $2$ de $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.20.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.20.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.23

Multiplique ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.24

Para escrever ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26

Multiplique ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.26.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26.3

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26.4

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.27

Simplifique ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.28

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.29

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 2 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} = - 4$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 4$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 4$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 2}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 2$ .

$x^{2} = 2$

Etapa 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 5.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 5.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 5.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{{(- x^{2} + 4)}^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{- x^{2} + 4}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{- x^{2} + 4}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{- x^{2} + 4} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{- x^{2} + 4}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- x^{2} + 4}$ como ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- x^{2} + 4)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$- x^{2} + 4 = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 4$

Etapa 6.3.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 6.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 6.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 6.3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 6.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 6.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 6.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{- x^{2} + 4}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$- x^{2} + 4 < 0$

Etapa 6.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Subtraia $4$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} < - 4$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} < - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} < - 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} > 4$

Etapa 6.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{4}$

Etapa 6.5.4

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > \sqrt{4}$

Etapa 6.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1

Simplifique $\sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| x | > \sqrt{2^{2}}$

Etapa 6.5.4.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > | 2 |$

Etapa 6.5.4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$| x | > 2$

Etapa 6.5.5

Escreva $| x | > 2$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 6.5.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x > 2$

Etapa 6.5.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 6.5.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x > 2$

Etapa 6.5.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x > 2 & x \geq 0 \\ - x > 2 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 6.5.6

Encontre a intersecção de $x > 2$ e $x \geq 0$ .

$x > 2$

Etapa 6.5.7

Divida cada termo em $- x > 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.1

Divida cada termo em $- x > 2$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2}{- 1}$

Etapa 6.5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{2}{- 1}$

Etapa 6.5.7.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{2}{- 1}$

Etapa 6.5.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.3.1

Divida $2$ por $- 1$ .

$x < - 2$

Etapa 6.5.8

Encontre a união das soluções.

$x < - 2$ ou $x > 2$

Etapa 6.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - 2, 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 (\sqrt{2}) ({(\sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(\sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{1} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{2} (2 - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $6$ de $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \cdot - 4}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{1} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 1 \cdot 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.2

Some $- 2$ e $4$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

$x = \sqrt{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2}$ na expressão.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

Etapa 11.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 11.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 11.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 11.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 11.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2)}$

Etapa 11.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 1 \cdot 2)}$

Etapa 11.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2)}$

Etapa 11.2.3.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 2}$

Etapa 11.2.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4}$

Etapa 11.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 11.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\sqrt{2}) = 2$

Etapa 11.2.5

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(- \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(- \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{1} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 1 \cdot 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Some $- 2$ e $4$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (1 {\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{1} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.5

Subtraia $6$ de $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} \cdot - 4}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.6

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14

$x = - \sqrt{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{2}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{4 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 15.2.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 15.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 15.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 15.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 15.2.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 15.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 15.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 15.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 15.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2}$

Etapa 15.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

Etapa 15.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2}$

Etapa 15.2.5.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2}$

Etapa 15.2.6

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Etapa 15.2.6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Etapa 15.2.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Etapa 15.2.6.4

Some $1$ e $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 15.2.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 15.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 15.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 15.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 15.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = - 2$

Etapa 15.2.7.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{2}) = - 1 \cdot 2$

Etapa 15.2.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2$

Etapa 15.2.9

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- {(- 2)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- 1 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- 4 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 17.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 17.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{3}}$

Etapa 17.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0}$

Etapa 17.2.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0}$

Etapa 17.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 18

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 19