Cálculo Exemplos

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y - 1$ e $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $y^{2} - y + 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.11

Some $2 y - 1$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Expanda $(- y + 1) (2 y - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.2.1.3.1.2.1

Mova $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3.1.4

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

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Etapa 1.3.2.1.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3.1.4.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3.1.5

Multiplique $2 y$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3.2

Some $y$ e $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Combine os termos opostos em $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

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Etapa 1.3.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2.2

Some $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Subtraia $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.4

Some $- y$ e $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Fatore $y$ de $- y^{2} + 2 y$ .

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Etapa 1.3.3.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Fatore $y$ de $2 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Fatore $y$ de $y (- y) + y \cdot 2$ .

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.7

Reescreva $- (y - 2)$ como $- 1 (y - 2)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ .

$g'' (y) = - \frac{d}{d y} \cdot \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.2

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = y - 2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \frac{d}{d y} (y - 2) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.5.3

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \cdot 1) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.5.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.5.6.1

Multiplique $y - 2$ por $1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.5.6.2

Some $y$ e $y$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{2} - y + 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 u \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2} - y + 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 (y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.7.2

Fatore $y^{2} - y + 1$ de ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ .

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Etapa 2.7.2.1

Fatore $y^{2} - y + 1$ de ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2)$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.7.2.2

Fatore $y^{2} - y + 1$ de $- 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.7.2.3

Fatore $y^{2} - y + 1$ de $(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]))$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.8

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.8.1

Fatore $y^{2} - y + 1$ de ${(y^{2} - y + 1)}^{4}$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{(y^{2} - y + 1) {(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.8.2

Cancele o fator comum.

Etapa 2.8.3

Reescreva a expressão.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.11

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.14

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.15

Some $2 y - 1$ e $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Etapa 2.16

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.17

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.17.1

Multiplique $\frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ por $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + 0$

Etapa 2.17.2

Some $- \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ e $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18

Simplifique.

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Etapa 2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.18.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.18.2.1.1

Expanda $(y^{2} - y + 1) (2 y - 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$g'' (y) = - \frac{y^{2} (2 y) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.18.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{2} y + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.18.2.1.2.2.1

Mova $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.2.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 2.18.2.1.2.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{1 + 2} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 \cdot y^{2} - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.18.2.1.2.5.1

Mova $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.8

Multiplique $2 y$ por $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.2.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.3

Subtraia $2 y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.4

Some $2 y$ e $2 y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.18.2.1.5.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.18.2.1.5.1.1

Mova $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 (y \cdot y) - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.5.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.5.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.6

Expanda $(- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.18.2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y - 1) + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.18.2.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.18.2.1.7.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{2} y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.18.2.1.7.1.2.1

Mova $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.2.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 2.18.2.1.7.1.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{1 + 2}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{3}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y \cdot y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.18.2.1.7.1.6.1

Mova $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 (y \cdot y)) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y^{2}) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.7

Multiplique $4$ por $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.1.8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.1.7.2

Some $2 y^{2}$ e $8 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.2

Combine os termos opostos em $2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y$ .

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Etapa 2.18.2.2.1

Subtraia $4 y$ de $4 y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.2.2

Some $2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}$ e $0$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.3

Subtraia $4 y^{3}$ de $2 y^{3}$ .

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.4

Some $- 4 y^{2}$ e $10 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.3

Fatore $2$ de $- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2$ .

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Etapa 2.18.3.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{3}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.3.2

Fatore $2$ de $6 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.3.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.3.4

Fatore $2$ de $2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2})$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.3.5

Fatore $2$ de $2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.4

Fatore $- 1$ de $- y^{3}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.5

Fatore $- 1$ de $3 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) - (- 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.6

Fatore $- 1$ de $- (y^{3}) - (- 3 y^{2})$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.8

Fatore $- 1$ de $- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 (1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.9

Reescreva $- (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ como $- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g'' (y) = 1 (\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}})$

Etapa 2.18.12

Multiplique $\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $y^{2} - y + 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.10

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.11

Some $2 y - 1$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

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Etapa 4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.2

Expanda $(- y + 1) (2 y - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.3.2.1.3.1.2.1

Mova $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.3.1.4

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

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Etapa 4.1.3.2.1.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.3.1.4.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.3.1.5

Multiplique $2 y$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.1.3.2

Some $y$ e $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.2

Combine os termos opostos em $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

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Etapa 4.1.3.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.2.2

Some $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.3

Subtraia $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.4

Some $- y$ e $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.3

Fatore $y$ de $- y^{2} + 2 y$ .

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Etapa 4.1.3.3.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.3.2

Fatore $y$ de $2 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.3.3

Fatore $y$ de $y (- y) + y \cdot 2$ .

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.4

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.6

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.7

Reescreva $- (y - 2)$ como $- 1 (y - 2)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (y) = - \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $g (y)$ com relação a $y$ é $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$y (y - 2) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$y - 2 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

Etapa 5.3.3

Defina $y - 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 5.3.3.1

Defina $y - 2$ como igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $y (y - 2) = 0$ verdadeiro.

$y = 0, 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$y = 0, 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $y = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 ({(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1)}{{({(0)}^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0^{2} + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{2 (0 + 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Etapa 9.1.4

Some $0$ e $0$ .

$\frac{2 (0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Etapa 9.1.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 - (0) + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 0 + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Etapa 9.2.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2 \cdot 1}{1}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2}{1}$

Etapa 9.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10

$y = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$y = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $y = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $y$ por $0$ na expressão.

$g (0) = \frac{(0) - 1}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0^{2} - (0) + 1}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 - (0) + 1}$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 0 + 1}$

Etapa 11.2.2.3

Some $0$ e $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 1}$

Etapa 11.2.2.4

Some $0$ e $1$ .

$g (0) = \frac{- 1}{1}$

Etapa 11.2.3

Divida $- 1$ por $1$ .

$g (0) = - 1$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $y = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 ({(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1)}{{({(2)}^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 2^{2} + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Etapa 13.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{2 (8 - 12 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Etapa 13.1.4

Subtraia $12$ de $8$ .

$\frac{2 (- 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Etapa 13.1.5

Some $- 4$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - (2) + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - 2 + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{3^{3}}$

Etapa 13.2.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{27}$

Etapa 13.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 13.3.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{- 6}{27}$

Etapa 13.3.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.2.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{27}$

Etapa 13.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.2.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

Etapa 13.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

Etapa 13.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{9}$

Etapa 13.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{9}$

Etapa 14

$y = 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$y = 2$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $y = 2$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $y$ por $2$ na expressão.

$g (2) = \frac{(2) - 1}{{(2)}^{2} - (2) + 1}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$g (2) = \frac{1}{2^{2} - (2) + 1}$

Etapa 15.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$g (2) = \frac{1}{4 - (2) + 1}$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$g (2) = \frac{1}{4 - 2 + 1}$

Etapa 15.2.2.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$g (2) = \frac{1}{2 + 1}$

Etapa 15.2.2.4

Some $2$ e $1$ .

$g (2) = \frac{1}{3}$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$ .

$(0, - 1)$ é um mínimo local

$(2, \frac{1}{3})$ é um máximo local

Etapa 17