Cálculo Exemplos

$u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $100 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $100 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d y} [40 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $40$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $40 y$ em relação a $y$ é $40 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $40$ por $1$ .

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 1.3

Como $- 5 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 + 40 + 0 - 4 y$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Some $0$ e $40$ .

$40 + 0 - 4 y$

Etapa 1.5.1.2

Some $40$ e $0$ .

$40 - 4 y$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$- 4 y + 40$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 y + 40$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [40]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (- 4 y) + \frac{d}{d y} (40)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 4 y$ em relação a $y$ é $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = - 4 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (40)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$u'' (y) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (40)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u'' (y) = - 4 + \frac{d}{d y} (40)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $40$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $40$ em relação a $y$ é $0$ .

$u'' (y) = - 4 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- 4$ e $0$ .

$u'' (y) = - 4$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 y + 40 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 4.1.1.2

Como $100 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $100 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d y} [40 y]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $40$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $40 y$ em relação a $y$ é $40 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $40$ por $1$ .

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 4.1.3

Como $- 5 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 + 40 + 0 - 4 y$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.1

Combine os termos.

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Etapa 4.1.5.1.1

Some $0$ e $40$ .

$40 + 0 - 4 y$

Etapa 4.1.5.1.2

Some $40$ e $0$ .

$40 - 4 y$

Etapa 4.1.5.2

Reordene os termos.

$f' (y) = - 4 y + 40$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $u (y)$ com relação a $y$ é $- 4 y + 40$ .

$- 4 y + 40$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 y + 40 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 y + 40 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $40$ dos dois lados da equação.

$- 4 y = - 40$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 4 y = - 40$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 4 y = - 40$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 40}{- 4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida $- 40$ por $- 4$ .

$y = 10$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$y = 10$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $y = 10$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4$

Etapa 9

$y = 10$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$y = 10$ é um máximo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $y = 10$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $y$ por $10$ na expressão.

$u (10) = 100 x + 40 (10) - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Multiplique $40$ por $10$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

Etapa 10.2.1.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 \cdot 100$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $100$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 200$

Etapa 10.2.2

Subtraia $200$ de $400$ .

$u (10) = 100 x - 5 x^{2} + 200$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $100 x - 5 x^{2} + 200$ .

$y = 100 x - 5 x^{2} + 200$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ .

$(10, 100 x - 5 x^{2} + 200)$ é um máximo local

Etapa 12