Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$

Etapa 1

Escreva $y = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $3 x^{2} - 10 x - 8$ e $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 10 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $6 x - 10$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 10$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $3 x^{2} - 10 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 10 x - 8$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Etapa 6.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e cuja soma é $b = - 10$ .

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva $- 10$ como $2$ mais $- 12$

$3 x^{2} + (2 - 12) x - 8 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 2 x - 12 x - 8 = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} + 2 x) - 12 x - 8 = 0$

Etapa 6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x + 2) - 4 (3 x + 2) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 4) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 6.4

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 6.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 6.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 6.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 6.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 2) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{3}, 4$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{2}{3}, 4$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{2}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- \frac{2}{3}) - 10$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$6 (\frac{- 2}{3}) - 10$

Etapa 10.1.1.2

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{- 2}{3} - 10$

Etapa 10.1.1.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{- 2}{3} - 10$

Etapa 10.1.1.4

Reescreva a expressão.

$2 \cdot - 2 - 10$

Etapa 10.1.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 - 10$

Etapa 10.2

Subtraia $10$ de $- 4$ .

$- 14$

Etapa 11

$x = - \frac{2}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{2}{3}$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - \frac{2}{3}$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{3} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}) - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2^{3}}{3^{3}} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3^{3}} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.6

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.7

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 \frac{4}{3^{2}} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 (\frac{4}{9}) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.10

Multiplique $- 5 (\frac{4}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.10.1

Combine $- 5$ e $\frac{4}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{- 5 \cdot 4}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.10.2

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{- 20}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.12

Multiplique $- 8 (- \frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + 8 (\frac{2}{3}) + 5$

Etapa 12.2.1.12.2

Combine $8$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + \frac{8 \cdot 2}{3} + 5$

Etapa 12.2.1.12.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + \frac{16}{3} + 5$

Etapa 12.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Multiplique $\frac{20}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - (\frac{20}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{16}{3} + 5$

Etapa 12.2.2.2

Multiplique $\frac{20}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16}{3} + 5$

Etapa 12.2.2.3

Multiplique $\frac{16}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{9} + 5$

Etapa 12.2.2.4

Multiplique $\frac{16}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Etapa 12.2.2.5

Escreva $5$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Etapa 12.2.2.6

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 12.2.2.7

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Etapa 12.2.2.8

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Etapa 12.2.2.9

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{27} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Etapa 12.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{27} + \frac{16 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Etapa 12.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 20 \cdot 3 + 16 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 12.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Multiplique $- 20$ por $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 16 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 12.2.4.2

Multiplique $16$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 144 + 5 \cdot 27}{27}$

Etapa 12.2.4.3

Multiplique $5$ por $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 144 + 135}{27}$

Etapa 12.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Subtraia $60$ de $- 8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 68 + 144 + 135}{27}$

Etapa 12.2.5.2

Some $- 68$ e $144$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{76 + 135}{27}$

Etapa 12.2.5.3

Some $76$ e $135$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{211}{27}$

Etapa 12.2.6

A resposta final é $\frac{211}{27}$ .

$y = \frac{211}{27}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (4) - 10$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$24 - 10$

Etapa 14.2

Subtraia $10$ de $24$ .

$14$

Etapa 15

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 5$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (4) = 64 - 5 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 5$

Etapa 16.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 64 - 5 \cdot 16 - 8 \cdot 4 + 5$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $16$ .

$f (4) = 64 - 80 - 8 \cdot 4 + 5$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$f (4) = 64 - 80 - 32 + 5$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Subtraia $80$ de $64$ .

$f (4) = - 16 - 32 + 5$

Etapa 16.2.2.2

Subtraia $32$ de $- 16$ .

$f (4) = - 48 + 5$

Etapa 16.2.2.3

Some $- 48$ e $5$ .

$f (4) = - 43$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 43$ .

$y = - 43$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{211}{27})$ é um máximo local

$(4, - 43)$ é um mínimo local

Etapa 18