Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 3 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $y = x^{4} - 3 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 6 x = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (2 x)$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 6 x$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 6 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 6 x = 0$

Etapa 6.2

Fatore $2 x$ de $4 x^{3} - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $2 x$ de $- 6 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $2 x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $2 x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $2 x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 3$

Etapa 6.5.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 6.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 6.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 6.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.5.2.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.5.2.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.5.2.4.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 6.5.2.4.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 6.5.2.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.5.2.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.5.2.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.5.2.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.5.2.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.5.2.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.5.2.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 6.5.2.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.5.2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Etapa 6.5.2.4.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 6.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 6.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 6.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 6$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 - 6$

Etapa 10.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 6$

Etapa 10.2

Subtraia $6$ de $0$ .

$- 6$

Etapa 11

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2}$

Etapa 12.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 12.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 6$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$12 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} - 6$

Etapa 14.1.2

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6$

Etapa 14.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6$

Etapa 14.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

Etapa 14.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

Etapa 14.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$12 \frac{6^{1}}{2^{2}} - 6$

Etapa 14.1.2.5

Avalie o expoente.

$12 \frac{6}{2^{2}} - 6$

Etapa 14.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 (\frac{6}{4}) - 6$

Etapa 14.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{6}{4} - 6$

Etapa 14.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{6}{4} - 6$

Etapa 14.1.4.3

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 6 - 6$

Etapa 14.1.5

Multiplique $3$ por $6$ .

$18 - 6$

Etapa 14.2

Subtraia $6$ de $18$ .

$12$

Etapa 15

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{6}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{4}$ como $6^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.2.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.2.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.4

Cancele o fator comum de $36$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.4.1

Fatore $4$ de $36$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 16.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 16.2.1.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 16.2.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 16.2.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 16.2.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 16.2.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}}$

Etapa 16.2.1.6.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}}$

Etapa 16.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4})$

Etapa 16.2.1.8

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.8.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4}$

Etapa 16.2.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.8.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 16.2.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 16.2.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Etapa 16.2.1.9

Multiplique $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.9.1

Combine $- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Etapa 16.2.1.9.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Etapa 16.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Etapa 16.2.2

Para escrever $- \frac{9}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 16.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 16.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Etapa 16.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Etapa 16.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.5.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Etapa 16.2.5.2

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Etapa 16.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{9}{4}$

Etapa 16.2.7

A resposta final é $- \frac{9}{4}$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 6$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}) - 6$

Etapa 18.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}) - 6$

Etapa 18.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}) - 6$

Etapa 18.1.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$12 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} - 6$

Etapa 18.1.4

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6$

Etapa 18.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6$

Etapa 18.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

Etapa 18.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

Etapa 18.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$12 \frac{6^{1}}{2^{2}} - 6$

Etapa 18.1.4.5

Avalie o expoente.

$12 \frac{6}{2^{2}} - 6$

Etapa 18.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 (\frac{6}{4}) - 6$

Etapa 18.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{6}{4} - 6$

Etapa 18.1.6.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{6}{4} - 6$

Etapa 18.1.6.3

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 6 - 6$

Etapa 18.1.7

Multiplique $3$ por $6$ .

$18 - 6$

Etapa 18.2

Subtraia $6$ de $18$ .

$12$

Etapa 19

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.4.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{4}$ como $6^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.4.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.4.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.4.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.4.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.4.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.4.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.4.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.4.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.4.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.6

Cancele o fator comum de $36$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.6.1

Fatore $4$ de $36$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.6.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

Etapa 20.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2})$

Etapa 20.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 20.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (1 (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 20.2.1.9

Multiplique $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 20.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 20.2.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 20.2.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 20.2.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 20.2.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}}$

Etapa 20.2.1.10.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}}$

Etapa 20.2.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4})$

Etapa 20.2.1.12

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.12.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4}$

Etapa 20.2.1.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.12.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 20.2.1.12.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 20.2.1.12.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Etapa 20.2.1.13

Multiplique $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.13.1

Combine $- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Etapa 20.2.1.13.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Etapa 20.2.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Etapa 20.2.2

Para escrever $- \frac{9}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 20.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.3.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 20.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Etapa 20.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Etapa 20.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.5.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Etapa 20.2.5.2

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Etapa 20.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{9}{4}$

Etapa 20.2.7

A resposta final é $- \frac{9}{4}$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ .

$(0, 0)$ é um máximo local

$(\frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{9}{4})$ é um mínimo local

$(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{9}{4})$ é um mínimo local

Etapa 22