Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{3} - 24 x - 9$

Etapa 1

Escreva $y = 2 x^{3} - 24 x - 9$ como uma função.

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 9$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 24 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} - 24 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x^{2} - 24$ e $0$ .

$6 x^{2} - 24$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 0$

Etapa 3.3.2

Some $12 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{2} - 24 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 24 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} - 24 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $6 x^{2} - 24$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 24$ .

$6 x^{2} - 24$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 24 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 24 = 0$

Etapa 6.2

Some $24$ aos dois lados da equação.

$6 x^{2} = 24$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $6 x^{2} = 24$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $6 x^{2} = 24$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{24}{6}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{24}{6}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{24}{6}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Divida $24$ por $6$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 6.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 6.5

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 6.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 6.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 6.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 6.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 6.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2, - 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (2)$

Etapa 10

Multiplique $12$ por $2$ .

$24$

Etapa 11

$x = 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 24 \cdot 2 - 9$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Etapa 12.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 24 \cdot 2 - 9$

Etapa 12.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 24 \cdot 2 - 9$

Etapa 12.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 24 \cdot 2 - 9$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = 16 - 24 \cdot 2 - 9$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $2$ .

$f (2) = 16 - 48 - 9$

Etapa 12.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 12.2.2.1

Subtraia $48$ de $16$ .

$f (2) = - 32 - 9$

Etapa 12.2.2.2

Subtraia $9$ de $- 32$ .

$f (2) = - 41$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 41$ .

$y = - 41$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (- 2)$

Etapa 14

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$- 24$

Etapa 15

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} - 24 \cdot - 2 - 9$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 - 24 \cdot - 2 - 9$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 - 24 \cdot - 2 - 9$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 + 48 - 9$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 16.2.2.1

Some $- 16$ e $48$ .

$f (- 2) = 32 - 9$

Etapa 16.2.2.2

Subtraia $9$ de $32$ .

$f (- 2) = 23$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $23$ .

$y = 23$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 9$ .

$(2, - 41)$ é um mínimo local

$(- 2, 23)$ é um máximo local

Etapa 18