Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x - 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 4 x + 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e cuja soma é $b = - 4$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva $- 4$ como $- 1$ mais $- 3$

$3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1 = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1 = 0$

Etapa 5.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 5.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\frac{1}{3}) - 4$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} - 4$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} - 4$

Etapa 9.1.3

Reescreva a expressão.

$2 - 4$

Etapa 9.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$- 2$

Etapa 10

$x = \frac{1}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{3}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{3}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{3}$ na expressão.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Remova os parênteses.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.2.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.2.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.2.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.2.7

Combine $- 2$ e $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 2}{9} + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{2}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $\frac{2}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.3.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 11.2.3.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Etapa 11.2.3.5

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Etapa 11.2.3.6

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Etapa 11.2.3.7

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{27}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{27}$

Etapa 11.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{27}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 + 9}{27}$

Etapa 11.2.5.3

Some $- 5$ e $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $\frac{4}{27}$ .

$y = \frac{4}{27}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (1) - 4$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 - 4$

Etapa 13.2

Subtraia $4$ de $6$ .

$2$

Etapa 14

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Remova os parênteses.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 15.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 15.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

Etapa 15.2.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + 1$

Etapa 15.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1 + 1$

Etapa 15.2.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$f (1) = 0$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

$(\frac{1}{3}, \frac{4}{27})$ é um máximo local

$(1, 0)$ é um mínimo local

Etapa 17