Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 28 x^{2} + 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 12 x^{3} + 28 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28 x^{2}$ em relação a $x$ é $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $28$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x$ e $0$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [56 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} (56 x)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [56 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $56$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $56 x$ em relação a $x$ é $56 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 72 x + 56 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 72 x + 56 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $56$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 72 x + 56$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28 x^{2}$ em relação a $x$ é $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $28$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} + 36 x^{2} + 56 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 36 x^{2} + 56 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $4 x$ de $36 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (9 x) + 56 x = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $4 x$ de $56 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (9 x) + 4 x (14) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (9 x)$ .

$4 x (x^{2} + 9 x) + 4 x (14) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2} + 9 x) + 4 x (14)$ .

$4 x (x^{2} + 9 x + 14) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} + 9 x + 14$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $14$ e cuja soma é $9$ .

$2, 7$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 x ((x + 2) (x + 7)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 2) (x + 7) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.6

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 2) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, - 7$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 2, - 7$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} + 72 (0) + 56$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 + 72 (0) + 56$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 72 (0) + 56$

Etapa 9.1.3

Multiplique $72$ por $0$ .

$0 + 0 + 56$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 56$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $56$ .

$56$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} + 12 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 12 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 11.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 28 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 28 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 11.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 28 \cdot 0 + 2$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $28$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Etapa 11.2.2.3

Some $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 2)}^{2} + 72 (- 2) + 56$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 4 + 72 (- 2) + 56$

Etapa 13.1.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$48 + 72 (- 2) + 56$

Etapa 13.1.3

Multiplique $72$ por $- 2$ .

$48 - 144 + 56$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $144$ de $48$ .

$- 96 + 56$

Etapa 13.2.2

Some $- 96$ e $56$ .

$- 40$

Etapa 14

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} + 12 {(- 2)}^{3} + 28 {(- 2)}^{2} + 2$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f (- 2) = 16 + 12 {(- 2)}^{3} + 28 {(- 2)}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = 16 + 12 \cdot - 8 + 28 {(- 2)}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $12$ por $- 8$ .

$f (- 2) = 16 - 96 + 28 {(- 2)}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = 16 - 96 + 28 \cdot 4 + 2$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $28$ por $4$ .

$f (- 2) = 16 - 96 + 112 + 2$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Subtraia $96$ de $16$ .

$f (- 2) = - 80 + 112 + 2$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 80$ e $112$ .

$f (- 2) = 32 + 2$

Etapa 15.2.2.3

Some $32$ e $2$ .

$f (- 2) = 34$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $34$ .

$y = 34$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - 7$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 7)}^{2} + 72 (- 7) + 56$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 49 + 72 (- 7) + 56$

Etapa 17.1.2

Multiplique $12$ por $49$ .

$588 + 72 (- 7) + 56$

Etapa 17.1.3

Multiplique $72$ por $- 7$ .

$588 - 504 + 56$

Etapa 17.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Subtraia $504$ de $588$ .

$84 + 56$

Etapa 17.2.2

Some $84$ e $56$ .

$140$

Etapa 18

$x = - 7$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 7$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- 7$ na expressão.

$f (- 7) = {(- 7)}^{4} + 12 {(- 7)}^{3} + 28 {(- 7)}^{2} + 2$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $4$ .

$f (- 7) = 2401 + 12 {(- 7)}^{3} + 28 {(- 7)}^{2} + 2$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$f (- 7) = 2401 + 12 \cdot - 343 + 28 {(- 7)}^{2} + 2$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique $12$ por $- 343$ .

$f (- 7) = 2401 - 4116 + 28 {(- 7)}^{2} + 2$

Etapa 19.2.1.4

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$f (- 7) = 2401 - 4116 + 28 \cdot 49 + 2$

Etapa 19.2.1.5

Multiplique $28$ por $49$ .

$f (- 7) = 2401 - 4116 + 1372 + 2$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $4116$ de $2401$ .

$f (- 7) = - 1715 + 1372 + 2$

Etapa 19.2.2.2

Some $- 1715$ e $1372$ .

$f (- 7) = - 343 + 2$

Etapa 19.2.2.3

Some $- 343$ e $2$ .

$f (- 7) = - 341$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $- 341$ .

$y = - 341$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 28 x^{2} + 2$ .

$(0, 2)$ é um mínimo local

$(- 2, 34)$ é um máximo local

$(- 7, - 341)$ é um mínimo local

Etapa 21