Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [27 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27 x$ em relação a $x$ é $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $27$ por $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 18 x + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x - 18$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27 x)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (27 x)$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27 x$ em relação a $x$ é $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $27$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 27 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $3$ de $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 27 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $3$ de $27$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Etapa 5.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$3 {(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida ${(x - 3)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $0$ por $3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.5

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (3) - 18$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$18 - 18$

Etapa 9.2

Subtraia $18$ de $18$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 3)$ na primeira derivada $3 x^{2} - 18 x + 27$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 27$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Etapa 10.2.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 27$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 10.2.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 27$

Etapa 10.2.2.2.2

Some $0$ e $27$ .

$f' (0) = 27$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $27$ .

$27$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(3, \infty)$ na primeira derivada $3 x^{2} - 18 x + 27$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 + 27$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 18 \cdot 6 + 27$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $3$ por $36$ .

$f' (6) = 108 - 18 \cdot 6 + 27$

Etapa 10.3.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $6$ .

$f' (6) = 108 - 108 + 27$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 10.3.2.2.1

Subtraia $108$ de $108$ .

$f' (6) = 0 + 27$

Etapa 10.3.2.2.2

Some $0$ e $27$ .

$f' (6) = 27$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $27$ .

$27$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 3$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 11