Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 1.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine $x^{- 4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 1.3.2

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 1.4

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 1.4.2

Some $1$ e $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Reordene os termos.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 1.6.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 1.6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 1.6.2.4

Combine $\ln (x)$ e $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 1.6.2.5

Mova $4$ para a esquerda de $\ln (x)$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.5

Combine $x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x$ .

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Etapa 2.2.6.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.6.2.3

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.6.2.4

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.6.2.5

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.8

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.9

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ .

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Etapa 2.2.9.1

Multiplique por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.9.2

Fatore $x^{4}$ de $- 5 \ln (x) x^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.9.3

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.10

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.10.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.10.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.10.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.11

Combine $- 4$ e $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

Etapa 2.3.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

Etapa 2.3.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $x^{- 10}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.6.1

Mova $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

Etapa 2.3.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

Etapa 2.3.6.3

Subtraia $10$ de $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 2.4.3.3

Combine $- 5$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

Etapa 2.4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

Etapa 2.4.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Etapa 2.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.5.1

Fatore $- 1$ de $- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.1.1

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Etapa 2.4.5.1.2

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Etapa 2.4.5.1.3

Reescreva $- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ como $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Etapa 2.4.5.2

Some $5$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Etapa 2.4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 4.1.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Combine $x^{- 4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 4.1.3.2

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 4.1.4

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.4.1

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 4.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 4.1.4.2

Some $1$ e $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

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Etapa 4.1.6.1

Reordene os termos.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 4.1.6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.6.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 4.1.6.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 4.1.6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 4.1.6.2.4

Combine $\ln (x)$ e $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 4.1.6.2.5

Mova $4$ para a esquerda de $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $\frac{1}{x^{5}}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 5.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$- 4 \ln (x) = - 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $- 4 \ln (x) = - 1$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $- 4 \ln (x) = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

Etapa 5.5

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

Etapa 5.6

Reescreva $\ln (x) = \frac{1}{4}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4}} = x$

Etapa 5.7

Reescreva a equação como $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{5} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6.3

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 6.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = e^{\frac{1}{4}}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Use as regras logarítmicas para mover $\frac{1}{4}$ para fora do expoente.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Etapa 9.1.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 9.1.4.1

Fatore $4$ de $- 20$ .

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Etapa 9.1.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Etapa 9.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Etapa 9.1.5

Subtraia $5$ de $9$ .

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Etapa 9.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ .

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Etapa 9.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

Etapa 9.2.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Etapa 9.2.2.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Etapa 9.2.2.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

Etapa 9.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

$x = e^{\frac{1}{4}}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = e^{\frac{1}{4}}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $e^{\frac{1}{4}}$ na expressão.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Etapa 11.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 11.2.1.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Etapa 11.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Etapa 11.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Etapa 11.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Etapa 11.2.3

Use as regras logarítmicas para mover $\frac{1}{4}$ para fora do expoente.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

Etapa 11.2.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

Etapa 11.2.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 11.2.6

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

Etapa 11.2.7

Mova $4$ para a esquerda de $e$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

Etapa 11.2.8

A resposta final é $\frac{1}{4 e}$ .

$y = \frac{1}{4 e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ .

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ é um máximo local

Etapa 13