Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Step 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

Step 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Step 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (2 x)$

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Fatore $4 x$ de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 8$

Step 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 - 8$

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 8$

Subtraia $8$ de $0$ .

$- 8$

Step 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Step 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Step 12

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Reescreva a expressão.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Avalie o expoente.

$12 \cdot 2 - 8$

Multiplique $12$ por $2$ .

$24 - 8$

Subtraia $8$ de $24$ .

$16$

Step 14

$x = \sqrt{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{2}$ é um mínimo local

Step 15

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2}$ na expressão.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Divida $2$ por $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8$

Subtraia $8$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4$

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Step 16

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Reescreva a expressão.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Avalie o expoente.

$12 \cdot 2 - 8$

Multiplique $12$ por $2$ .

$24 - 8$

Subtraia $8$ de $24$ .

$16$

Step 18

$x = - \sqrt{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{2}$ é um mínimo local

Step 19

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Multiplique ${\sqrt{2}}^{4}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Reescreva ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8$

Subtraia $8$ de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4$

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Step 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ .

$(0, 0)$ é um máximo local

$(\sqrt{2}, - 4)$ é um mínimo local

$(- \sqrt{2}, - 4)$ é um mínimo local

Step 21