Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{3} - 3 x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$15 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$15 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$15 x^{2} - 15 x^{4}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 15 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 15$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{2}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 15 (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{3} - 3 x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 15 x^{4}$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 15 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 15 u = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $15 u$ de $- 15 u^{2} + 15 u$ .

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $15 u$ de $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 15 u = 0$

Etapa 5.2.3.2

Fatore $15 u$ de $15 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (1) = 0$

Etapa 5.2.3.3

Fatore $15 u$ de $15 u (- u) + 15 u (1)$ .

$15 u (- u + 1) = 0$

Etapa 5.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $- x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $- x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$- x^{2} + 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $- x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 1$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 5.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 5.5.2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $15 x^{2} (- x^{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1, - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 1, - 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 60 {(0)}^{3} + 30 (0)$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 60 \cdot 0 + 30 (0)$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 60$ por $0$ .

$0 + 30 (0)$

Etapa 9.1.3

Multiplique $30$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - 15 {(- 4)}^{4} + 15 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f' (- 4) = - 15 \cdot 256 + 15 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $- 15$ por $256$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 15 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 15 \cdot 16$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $15$ por $16$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 240$

Etapa 10.2.2.2

Some $- 3840$ e $240$ .

$f' (- 4) = - 3600$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 3600$ .

$- 3600$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f' (- 0.5) = - 15 {(- 0.5)}^{4} + 15 {(- 0.5)}^{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $- 0.5$ à potência de $4$ .

$f' (- 0.5) = - 15 \cdot 0.0625 + 15 {(- 0.5)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $- 15$ por $0.0625$ .

$f' (- 0.5) = - 0.9375 + 15 {(- 0.5)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.5) = - 0.9375 + 15 \cdot 0.25$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $15$ por $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 0.9375 + 3.75$

Etapa 10.3.2.2

Some $- 0.9375$ e $3.75$ .

$f' (- 0.5) = 2.8125$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $2.8125$ .

$2.8125$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $0.5$ , do intervalo $(0, 1)$ na primeira derivada $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $0.5$ na expressão.

$f' (0.5) = - 15 {(0.5)}^{4} + 15 {(0.5)}^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $0.5$ à potência de $4$ .

$f' (0.5) = - 15 \cdot 0.0625 + 15 {(0.5)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $- 15$ por $0.0625$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 15 {(0.5)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 15 \cdot 0.25$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $15$ por $0.25$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 3.75$

Etapa 10.4.2.2

Some $- 0.9375$ e $3.75$ .

$f' (0.5) = 2.8125$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $2.8125$ .

$2.8125$

Etapa 10.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - 15 {(4)}^{4} + 15 {(4)}^{2}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.5.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = - 15 \cdot 256 + 15 {(4)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.2

Multiplique $- 15$ por $256$ .

$f' (4) = - 3840 + 15 {(4)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = - 3840 + 15 \cdot 16$

Etapa 10.5.2.1.4

Multiplique $15$ por $16$ .

$f' (4) = - 3840 + 240$

Etapa 10.5.2.2

Some $- 3840$ e $240$ .

$f' (4) = - 3600$

Etapa 10.5.2.3

A resposta final é $- 3600$ .

$- 3600$

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um mínimo local.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 10.7

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um máximo local.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 10.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$ .

$x = - 1$ é um mínimo local

$x = 1$ é um máximo local

$x = - 1$ é um mínimo local

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 11