Cálculo Exemplos

Encontre o Máximo e Mínimo Local f(x)=3x-36x^(1/3)
Etapa 1
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.3
Multiplique por .
Etapa 1.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.3.3
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.3.4
Combine e .
Etapa 1.3.5
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.3.6
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.6.1
Multiplique por .
Etapa 1.3.6.2
Subtraia de .
Etapa 1.3.7
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 1.3.8
Combine e .
Etapa 1.3.9
Combine e .
Etapa 1.3.10
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 1.3.11
Fatore de .
Etapa 1.3.12
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.12.1
Fatore de .
Etapa 1.3.12.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.3.12.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.3.13
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.1.2
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.2
Reescreva como .
Etapa 2.2.3
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.3.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.2.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.5
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.5.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 2.2.5.2
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.5.2.1
Combine e .
Etapa 2.2.5.2.2
Multiplique por .
Etapa 2.2.5.3
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.2.6
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 2.2.7
Combine e .
Etapa 2.2.8
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 2.2.9
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.9.1
Multiplique por .
Etapa 2.2.9.2
Subtraia de .
Etapa 2.2.10
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.2.11
Combine e .
Etapa 2.2.12
Combine e .
Etapa 2.2.13
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.13.1
Mova .
Etapa 2.2.13.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.2.13.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 2.2.13.4
Subtraia de .
Etapa 2.2.13.5
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.2.14
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 2.2.15
Multiplique por .
Etapa 2.2.16
Combine e .
Etapa 2.2.17
Multiplique por .
Etapa 2.2.18
Fatore de .
Etapa 2.2.19
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.19.1
Fatore de .
Etapa 2.2.19.2
Cancele o fator comum.
Etapa 2.2.19.3
Reescreva a expressão.
Etapa 2.3
Some e .
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 4.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 4.1.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.3.3
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 4.1.3.4
Combine e .
Etapa 4.1.3.5
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 4.1.3.6
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.6.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.3.6.2
Subtraia de .
Etapa 4.1.3.7
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 4.1.3.8
Combine e .
Etapa 4.1.3.9
Combine e .
Etapa 4.1.3.10
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 4.1.3.11
Fatore de .
Etapa 4.1.3.12
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.12.1
Fatore de .
Etapa 4.1.3.12.2
Cancele o fator comum.
Etapa 4.1.3.12.3
Reescreva a expressão.
Etapa 4.1.3.13
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 4.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 5
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 5.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 5.3
Encontre o MMC dos termos na equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.1
Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.
Etapa 5.3.2
O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.
Etapa 5.4
Multiplique cada termo em por para eliminar as frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1
Multiplique cada termo em por .
Etapa 5.4.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1.1
Mova o negativo de maior ordem em para o numerador.
Etapa 5.4.2.1.2
Cancele o fator comum.
Etapa 5.4.2.1.3
Reescreva a expressão.
Etapa 5.5
Resolva a equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.1
Reescreva a equação como .
Etapa 5.5.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 5.5.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.2.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.5.2.2.2
Divida por .
Etapa 5.5.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.2.3.1
Divida por .
Etapa 5.5.3
Eleve cada lado da equação à potência de para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.
Etapa 5.5.4
Simplifique o expoente.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1.1
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1.1.1
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1.1.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 5.5.4.1.1.1.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1.1.1.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.5.4.1.1.1.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 5.5.4.1.1.1.3
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1.1.1.3.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.5.4.1.1.1.3.2
Reescreva a expressão.
Etapa 5.5.4.1.1.2
Simplifique.
Etapa 5.5.4.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.2.1
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.2.1.1
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.2.1.1.1
Reescreva como .
Etapa 5.5.4.2.1.1.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 5.5.4.2.1.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.2.1.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.5.4.2.1.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 5.5.4.2.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 5.5.5
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.5.1
Primeiro, use o valor positivo de para encontrar a primeira solução.
Etapa 5.5.5.2
Depois, use o valor negativo de para encontrar a segunda solução.
Etapa 5.5.5.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 6
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Aplique a regra para reescrever a exponenciação como um radical.
Etapa 6.2
Defina o denominador em como igual a para encontrar onde a expressão está indefinida.
Etapa 6.3
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.1
Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.
Etapa 6.3.2
Simplifique cada lado da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.1
Use para reescrever como .
Etapa 6.3.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 6.3.2.2.1.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 6.3.2.2.1.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 6.3.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.3.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 6.3.3
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Etapa 6.3.3.2
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.2.1
Reescreva como .
Etapa 6.3.3.2.2
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 6.3.3.2.3
Mais ou menos é .
Etapa 7
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 8
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 9.2
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.2.1
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 9.2.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 9.2.3
Combine e .
Etapa 9.2.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 9.2.5
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.2.5.1
Multiplique por .
Etapa 9.2.5.2
Subtraia de .
Etapa 9.3
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.1
Reescreva como .
Etapa 9.3.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 9.3.3
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.3.1
Cancele o fator comum.
Etapa 9.3.3.2
Reescreva a expressão.
Etapa 9.3.4
Eleve à potência de .
Etapa 10
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 11
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 11.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 11.2.1.2
Reescreva como .
Etapa 11.2.1.3
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 11.2.1.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 11.2.1.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 11.2.1.5
Avalie o expoente.
Etapa 11.2.1.6
Multiplique por .
Etapa 11.2.2
Subtraia de .
Etapa 11.2.3
A resposta final é .
Etapa 12
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 13
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1.1
Reescreva como .
Etapa 13.1.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 13.1.3
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1.3.1
Cancele o fator comum.
Etapa 13.1.3.2
Reescreva a expressão.
Etapa 13.1.4
Eleve à potência de .
Etapa 13.2
Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.1
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.1.1
Fatore de .
Etapa 13.2.1.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.1.2.1
Fatore de .
Etapa 13.2.1.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 13.2.1.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 13.2.2
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 14
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 15
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 15.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 15.2.1.2
Reescreva como .
Etapa 15.2.1.3
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 15.2.1.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.1.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 15.2.1.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 15.2.1.5
Avalie o expoente.
Etapa 15.2.1.6
Multiplique por .
Etapa 15.2.2
Some e .
Etapa 15.2.3
A resposta final é .
Etapa 16
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 17
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 17.1
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 17.1.1
Reescreva como .
Etapa 17.1.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 17.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 17.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 17.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 17.3
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 17.4
A expressão contém uma divisão por . A expressão é indefinida.
Indefinido
Indefinido
Etapa 18
Como há pelo menos um ponto com ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.1
Divida em intervalos separados em torno dos valores de que tornam a primeira derivada ou indefinida.
Etapa 18.2
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.2.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 18.2.2
A resposta final é .
Etapa 18.3
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.3.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 18.3.2
A resposta final é .
Etapa 18.4
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.4.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 18.4.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.4.2.1
Remova os parênteses.
Etapa 18.4.2.2
A resposta final é .
Etapa 18.5
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.5.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 18.5.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.5.2.1
Remova os parênteses.
Etapa 18.5.2.2
A resposta final é .
Etapa 18.6
Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de , então é um máximo local.
é um máximo local
Etapa 18.7
Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de , este não é um máximo local nem um mínimo local.
Não é um máximo nem um mínimo local
Etapa 18.8
Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de , então é um mínimo local.
é um mínimo local
Etapa 18.9
Esses são os extremos locais para .
é um máximo local
é um mínimo local
é um máximo local
é um mínimo local
Etapa 19