Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 5 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$15 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{4} - 20 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 20$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 x^{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 5 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 20 x^{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $15 x^{4} - 20 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $5 x^{3}$ de $15 x^{4} - 20 x^{3}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $5 x^{3}$ de $15 x^{4}$ .

$5 x^{3} (3 x) - 20 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $5 x^{3}$ de $- 20 x^{3}$ .

$5 x^{3} (3 x) + 5 x^{3} (- 4) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $5 x^{3}$ de $5 x^{3} (3 x) + 5 x^{3} (- 4)$ .

$5 x^{3} (3 x - 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$3 x - 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $3 x - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 x = 4$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $5 x^{3} (3 x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$60 {(0)}^{3} - 60 {(0)}^{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$60 \cdot 0 - 60 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $60$ por $0$ .

$0 - 60 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 60 \cdot 0$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 60$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $15 x^{4} - 20 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 20 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 20 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $15$ por $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 20 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 240 - 20 \cdot - 8$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = 240 + 160$

Etapa 10.2.2.2

Some $240$ e $160$ .

$f' (- 2) = 400$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $400$ .

$400$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, \frac{4}{3})$ na primeira derivada $15 x^{4} - 20 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $15$ por $1$ .

$f' (1) = 15 - 20 {(1)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 15 - 20 \cdot 1$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$f' (1) = 15 - 20$

Etapa 10.3.2.2

Subtraia $20$ de $15$ .

$f' (1) = - 5$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(\frac{4}{3}, \infty)$ na primeira derivada $15 x^{4} - 20 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 20 {(4)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $15$ por $256$ .

$f' (4) = 3840 - 20 {(4)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f' (4) = 3840 - 20 \cdot 64$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $64$ .

$f' (4) = 3840 - 1280$

Etapa 10.4.2.2

Subtraia $1280$ de $3840$ .

$f' (4) = 2560$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $2560$ .

$2560$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{4}{3}$ , então $x = \frac{4}{3}$ é um mínimo local.

$x = \frac{4}{3}$ é um mínimo local

Etapa 10.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$ .

$x = 0$ é um máximo local

$x = \frac{4}{3}$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = \frac{4}{3}$ é um mínimo local

Etapa 11