Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 18$ .

$12 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} - 36 x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $12 x^{3} - 36 x$ e $0$ .

$12 x^{3} - 36 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 36 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 36$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 x^{3} - 36 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $12 x^{3} - 36 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{3} - 36 x$ .

$12 x^{3} - 36 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{3} - 36 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{3} - 36 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore $12 x$ de $12 x^{3} - 36 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $12 x$ de $- 36 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 3) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 3)$ .

$12 x (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 5.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 5.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 5.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 5.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 x (x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$36 {(0)}^{2} - 36$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$36 \cdot 0 - 36$

Etapa 9.1.2

Multiplique $36$ por $0$ .

$0 - 36$

Etapa 9.2

Subtraia $36$ de $0$ .

$- 36$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 15$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 18 {(0)}^{2} + 15$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 18 {(0)}^{2} + 15$

Etapa 11.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 15$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 18$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 15$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 15$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $15$ .

$f (0) = 15$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $15$ .

$y = 15$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$36 {(\sqrt{3})}^{2} - 36$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 36$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 36$

Etapa 13.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Etapa 13.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Etapa 13.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$36 \cdot 3^{1} - 36$

Etapa 13.1.1.5

Avalie o expoente.

$36 \cdot 3 - 36$

Etapa 13.1.2

Multiplique $36$ por $3$ .

$108 - 36$

Etapa 13.2

Subtraia $36$ de $108$ .

$72$

Etapa 14

$x = \sqrt{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{3}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{3}$ na expressão.

$f (\sqrt{3}) = 3 {(\sqrt{3})}^{4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\sqrt{3}) = 3^{1 + 2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{3} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15$

Etapa 15.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15$

Etapa 15.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Etapa 15.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Etapa 15.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Etapa 15.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 18$ por $3$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 54 + 15$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Subtraia $54$ de $27$ .

$f (\sqrt{3}) = - 27 + 15$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 27$ e $15$ .

$f (\sqrt{3}) = - 12$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$y = - 12$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$36 {(- \sqrt{3})}^{2} - 36$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$36 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) - 36$

Etapa 17.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$36 (1 {\sqrt{3}}^{2}) - 36$

Etapa 17.1.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$36 {\sqrt{3}}^{2} - 36$

Etapa 17.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 36$

Etapa 17.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 36$

Etapa 17.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Etapa 17.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Etapa 17.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$36 \cdot 3^{1} - 36$

Etapa 17.1.4.5

Avalie o expoente.

$36 \cdot 3 - 36$

Etapa 17.1.5

Multiplique $36$ por $3$ .

$108 - 36$

Etapa 17.2

Subtraia $36$ de $108$ .

$72$

Etapa 18

$x = - \sqrt{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{3}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- \sqrt{3}) = 3 {(- \sqrt{3})}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 (1 {\sqrt{3}}^{4}) - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 {\sqrt{3}}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 19.2.1.4.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 19.2.1.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.4.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.5

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 19.2.1.5.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ .

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Etapa 19.2.1.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \sqrt{3}) = 3^{1 + 2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.5.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{3} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.7

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 15$

Etapa 19.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 15$

Etapa 19.2.1.9

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 {\sqrt{3}}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 19.2.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15$

Etapa 19.2.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15$

Etapa 19.2.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Etapa 19.2.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.2.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Etapa 19.2.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Etapa 19.2.1.10.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Etapa 19.2.1.11

Multiplique $- 18$ por $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 54 + 15$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 19.2.2.1

Subtraia $54$ de $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 27 + 15$

Etapa 19.2.2.2

Some $- 27$ e $15$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 12$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$y = - 12$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ .

$(0, 15)$ é um máximo local

$(\sqrt{3}, - 12)$ é um mínimo local

$(- \sqrt{3}, - 12)$ é um mínimo local

Etapa 21