Cálculo Exemplos

$x^{2} + 5 y^{2} = 5$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 5 (2 y y')$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$2 x + 10 y y'$

Etapa 2.3

Reordene os termos.

$10 y y' + 2 x$

Etapa 3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$10 y y' + 2 x = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$10 y y' = - 2 x$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $10 y y' = - 2 x$ por $10 y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $10 y y' = - 2 x$ por $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 2 x}{10 y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 2 x}{10 y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{10 y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{10 y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{10 y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $10$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{10 y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $10 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (5 y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (5 y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x}{5 y}$

Etapa 5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{5 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{5 y}$