Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} - 2 x - 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{4 + 4 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{4 + 4 - 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2.6.2

Some $4$ e $4$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.2.6.3

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 2} x + 2}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + 3 lim_{x \to - 2} x + 2}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 + 2}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 + 3 \cdot - 2 + 2}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{0}{4 - 6 + 2}$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $6$ de $4$ .

$\frac{0}{- 2 + 2}$

Etapa 1.1.3.6.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 3 x + 2} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [2]}$

Etapa 1.3.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 3 + 0}$

Etapa 1.3.11

Some $2 x + 3$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 3}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 x - 2}{lim_{x \to - 2} 2 x + 3}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} 2 x + 3}$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} 2 x + 3}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 2} 2 x + 3}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 2} 2 x + lim_{x \to - 2} 3}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 3}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to - 2} x + 3}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot - 2 - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to - 2} x + 3}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot - 2 + 3}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 - 1 \cdot 2}{2 \cdot - 2 + 3}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 4 - 2}{2 \cdot - 2 + 3}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$\frac{- 6}{2 \cdot - 2 + 3}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 6}{- 4 + 3}$

Etapa 4.2.2

Some $- 4$ e $3$ .

$\frac{- 6}{- 1}$

Etapa 4.3

Divida $- 6$ por $- 1$ .

$6$