Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{9 x^{2} + 1}}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 2.2.2

Divida $9$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Etapa 6.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Some $9$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9}}$

Etapa 6.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 6.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$