Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x$

Etapa 1

Multiplique para racionalizar o numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Expanda o numerador usando o método FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Etapa 2.2.2

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + x}$

Etapa 3.1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 3.1.1.3

Reescreva o polinômio.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + x}$

Etapa 3.1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}$

Etapa 3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1

Some $x$ e $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} 1$

Etapa 4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$1$